Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simplr1 1103 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ) |
2 | | simplr2 1104 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝑥) |
3 | | simpr1 1067 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
4 | | iccssre 12255 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) |
5 | 4 | sseld 3602 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)) |
6 | 5 | 3impia 1261 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ) |
7 | 6 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ) |
8 | | ltle 10126 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐶 → 𝑥 ≤ 𝐶)) |
9 | 3, 7, 8 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → (𝑥 < 𝐶 → 𝑥 ≤ 𝐶)) |
10 | 9 | imp 445 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐶) |
11 | 1, 2, 10 | 3jca 1242 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) |
12 | 11 | orcd 407 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
13 | | simplr1 1103 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ) |
14 | | simpr 477 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → 𝐶 ≤ 𝑥) |
15 | | simplr3 1105 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝐵) |
16 | 13, 14, 15 | 3jca 1242 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) |
17 | 16 | olcd 408 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
18 | 12, 17, 3, 7 | ltlecasei 10145 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
19 | 18 | ex 450 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))) |
20 | | simp1 1061 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ) |
21 | 20 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)) |
22 | | simp2 1062 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝑥) |
23 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝑥)) |
24 | | elicc2 12238 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))) |
25 | 20 | 3ad2ant3 1084 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
26 | | simp1 1061 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ) |
27 | 26 | 3ad2ant2 1083 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ) |
28 | | simp1r 1086 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ) |
29 | | simp3 1063 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐶) |
30 | 29 | 3ad2ant3 1084 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶) |
31 | | simp3 1063 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵) |
32 | 31 | 3ad2ant2 1083 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ≤ 𝐵) |
33 | 25, 27, 28, 30, 32 | letrd 10194 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐵) |
34 | 33 | 3exp 1264 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐵))) |
35 | 24, 34 | sylbid 230 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐵))) |
36 | 35 | 3impia 1261 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐵)) |
37 | 21, 23, 36 | 3jcad 1243 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
38 | | simp1 1061 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ) |
39 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)) |
40 | | simp1l 1085 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ) |
41 | 26 | 3ad2ant2 1083 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ) |
42 | 38 | 3ad2ant3 1084 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
43 | | simp2 1062 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐶) |
44 | 43 | 3ad2ant2 1083 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶) |
45 | | simp2 1062 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝑥) |
46 | 45 | 3ad2ant3 1084 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝑥) |
47 | 40, 41, 42, 44, 46 | letrd 10194 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥) |
48 | 47 | 3exp 1264 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑥))) |
49 | 24, 48 | sylbid 230 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑥))) |
50 | 49 | 3impia 1261 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑥)) |
51 | | simp3 1063 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝐵) |
52 | 51 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝐵)) |
53 | 39, 50, 52 | 3jcad 1243 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
54 | 37, 53 | jaod 395 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
55 | 19, 54 | impbid 202 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))) |
56 | | elicc2 12238 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
57 | 56 | 3adant3 1081 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
58 | 5 | imdistani 726 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) |
59 | 58 | 3impa 1259 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) |
60 | | elicc2 12238 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))) |
61 | 60 | adantlr 751 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))) |
62 | | elicc2 12238 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
63 | 62 | ancoms 469 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
64 | 63 | adantll 750 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
65 | 61, 64 | orbi12d 746 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))) |
66 | 59, 65 | syl 17 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))) |
67 | 55, 57, 66 | 3bitr4d 300 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵)))) |
68 | | elun 3753 |
. . 3
⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∪ (𝐶[,]𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵))) |
69 | 67, 68 | syl6bbr 278 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∪ (𝐶[,]𝐵)))) |
70 | 69 | eqrdv 2620 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐶) ∪ (𝐶[,]𝐵))) |