Theorem mapfienlem3 8312

Description: Lemma 3 for mapfien 8313. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapfien.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
mapfien.t	⊢ 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷 ↑𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien.w	⊢ 𝑊 = (𝐺‘𝑍)
mapfien.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
mapfien.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐷)
mapfien.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
mapfien.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
mapfien.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
mapfien.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
mapfien.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapfienlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑥   𝜑,𝑔   𝑥,𝐷   𝑆,𝑔   𝑇,𝑔   𝑥,𝑊   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑔)   𝐵(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑔)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑊(𝑔)   𝑍(𝑔)

Proof of Theorem mapfienlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfien.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐷)
2		f1ocnv 6149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐷 → ◡𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐵)
3		f1of 6137	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐺:𝐷⟶𝐵)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺:𝐷⟶𝐵)
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ◡𝐺:𝐷⟶𝐵)
6		elrabi 3359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (𝐷 ↑𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊} → 𝑔 ∈ (𝐷 ↑𝑚 𝐶))
7		mapfien.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷 ↑𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
8	6, 7	eleq2s 2719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 → 𝑔 ∈ (𝐷 ↑𝑚 𝐶))
9	8	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ (𝐷 ↑𝑚 𝐶))
10		elmapi 7879	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐷 ↑𝑚 𝐶) → 𝑔:𝐶⟶𝐷)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑔:𝐶⟶𝐷)
12		fco 6058	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐺:𝐷⟶𝐵 ∧ 𝑔:𝐶⟶𝐷) → (◡𝐺 ∘ 𝑔):𝐶⟶𝐵)
13	5, 11, 12	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (◡𝐺 ∘ 𝑔):𝐶⟶𝐵)
14		mapfien.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
15		f1ocnv 6149	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶)
16		f1of 6137	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶 → ◡𝐹:𝐴⟶𝐶)
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝐴⟶𝐶)
18	17	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ◡𝐹:𝐴⟶𝐶)
19		fco 6058	. . . 4 ⊢ (((◡𝐺 ∘ 𝑔):𝐶⟶𝐵 ∧ ◡𝐹:𝐴⟶𝐶) → ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹):𝐴⟶𝐵)
20	13, 18, 19	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹):𝐴⟶𝐵)
21		mapfien.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
22		mapfien.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
23	21, 22	elmapd 7871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐴) ↔ ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹):𝐴⟶𝐵))
24	23	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐴) ↔ ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹):𝐴⟶𝐵))
25	20, 24	mpbird 247	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐴))
26		mapfien.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
27		mapfien.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝐺‘𝑍)
28		mapfien.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
29		mapfien.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
30		mapfien.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
31	26, 7, 27, 14, 1, 22, 21, 28, 29, 30	mapfienlem2 8311	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) finSupp 𝑍)
32		breq1 4656	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) → (𝑥 finSupp 𝑍 ↔ ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) finSupp 𝑍))
33	32, 26	elrab2 3366	. 2 ⊢ (((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑆 ↔ (((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐴) ∧ ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) finSupp 𝑍))
34	25, 31, 33	sylanbrc 698	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916  Vcvv 3200   class class class wbr 4653  ^◡ccnv 5113   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857   finSupp cfsupp 8275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fsupp 8276

This theorem is referenced by:  mapfien  8313