MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfienlem3 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem mapfienlem3 8312
Description: Lemma 3 for mapfien 8313. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s |- S = { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z }
mapfien.t |- T = { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W }
mapfien.w |- W = ( G ` Z )
mapfien.f |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
mapfien.g |- ( ph -> G : B -1-1-onto-> D )
mapfien.a |- ( ph -> A e. _V )
mapfien.b |- ( ph -> B e. _V )
mapfien.c |- ( ph -> C e. _V )
mapfien.d |- ( ph -> D e. _V )
mapfien.z |- ( ph -> Z e. B )
Assertion
Ref Expression
mapfienlem3 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) e. S )
Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, g, F   g, G, x   ph, g   x, D   S, g   T, g   x, W   x, Z
Allowed substitution hints:   ph( x)   A( g)   B( g)   C( g)   D( g)   S( x)   T( x)   W( g)   Z( g)
Proof of Theorem mapfienlem3
StepHypRef Expression
1 mapfien.g . . . . . . 7 |- ( ph -> G : B -1-1-onto-> D )
2 f1ocnv 6149 . . . . . . 7 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> `' G : D -1-1-onto-> B )
3 f1of 6137 . . . . . . 7 |- ( `' G : D -1-1-onto-> B -> `' G : D --> B )
41, 2, 33syl 18 . . . . . 6 |- ( ph -> `' G : D --> B )
54adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> `' G : D --> B )
6 elrabi 3359 . . . . . . . 8 |- ( g e. { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W } -> g e. ( D ^m C ) )
7 mapfien.t . . . . . . . 8 |- T = { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W }
86, 7eleq2s 2719 . . . . . . 7 |- ( g e. T -> g e. ( D ^m C ) )
98adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> g e. ( D ^m C ) )
10 elmapi 7879 . . . . . 6 |- ( g e. ( D ^m C ) -> g : C --> D )
119, 10syl 17 . . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> g : C --> D )
12 fco 6058 . . . . 5 |- ( ( `' G : D --> B /\ g : C --> D ) -> ( `' G o. g ) : C --> B )
135, 11, 12syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( `' G o. g ) : C --> B )
14 mapfien.f . . . . . 6 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
15 f1ocnv 6149 . . . . . 6 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> `' F : A -1-1-onto-> C )
16 f1of 6137 . . . . . 6 |- ( `' F : A -1-1-onto-> C -> `' F : A --> C )
1714, 15, 163syl 18 . . . . 5 |- ( ph -> `' F : A --> C )
1817adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> `' F : A --> C )
19 fco 6058 . . . 4 |- ( ( ( `' G o. g ) : C --> B /\ `' F : A --> C ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) : A --> B )
2013, 18, 19syl2anc 693 . . 3 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) : A --> B )
21 mapfien.b . . . . 5 |- ( ph -> B e. _V )
22 mapfien.a . . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
2321, 22elmapd 7871 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) e. ( B ^m A ) <-> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) : A --> B ) )
2423adantr 481 . . 3 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) e. ( B ^m A ) <-> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) : A --> B ) )
2520, 24mpbird 247 . 2 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) e. ( B ^m A ) )
26 mapfien.s . . 3 |- S = { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z }
27 mapfien.w . . 3 |- W = ( G ` Z )
28 mapfien.c . . 3 |- ( ph -> C e. _V )
29 mapfien.d . . 3 |- ( ph -> D e. _V )
30 mapfien.z . . 3 |- ( ph -> Z e. B )
3126, 7, 27, 14, 1, 22, 21, 28, 29, 30mapfienlem2 8311 . 2 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) finSupp Z )
32 breq1 4656 . . 3 |- ( x = ( ( `' G o. g ) o. `' F ) -> ( x finSupp Z <-> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) finSupp Z ) )
3332, 26elrab2 3366 . 2 |- ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) e. S <-> ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) e. ( B ^m A ) /\ ( ( `' G o. g ) o. `' F ) finSupp Z ) )
3425, 31, 33sylanbrc 698 1 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) e. S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fsupp 8276
This theorem is referenced by:  mapfien  8313
  Copyright terms: Public domain W3C validator