Theorem neiptoptop 20935

Description: Lemma for neiptopreu 20937. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
neiptop.o	⊢ 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)}
neiptop.0	⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑋⟶𝒫 𝒫 𝑋)
neiptop.1	⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝))
neiptop.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → (fi‘(𝑁‘𝑝)) ⊆ (𝑁‘𝑝))
neiptop.3	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑎)
neiptop.4	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝)∀𝑞 ∈ 𝑏 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑞))
neiptop.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑁‘𝑝))

Assertion

Ref	Expression
neiptoptop	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)

Distinct variable groups:   𝑝,𝑎   𝑁,𝑎   𝑋,𝑎,𝑏,𝑝   𝐽,𝑎,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝   𝑁,𝑏   𝑋,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐽(𝑞,𝑏)   𝑁(𝑞,𝑝)   𝑋(𝑞)

Proof of Theorem neiptoptop

Dummy variables 𝑐 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 4458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑒 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑒 ⊆ ∪ 𝐽)
3		neiptop.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)}
4		neiptop.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑋⟶𝒫 𝒫 𝑋)
5		neiptop.1	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝))
6		neiptop.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → (fi‘(𝑁‘𝑝)) ⊆ (𝑁‘𝑝))
7		neiptop.3	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑎)
8		neiptop.4	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∃𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝)∀𝑞 ∈ 𝑏 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑞))
9		neiptop.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑁‘𝑝))
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	neiptopuni 20934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
11	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
12	2, 11	sseqtr4d 3642	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋)
13		simp-4l 806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → 𝜑)
14	12	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋)
15		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → 𝑝 ∈ ∪ 𝑒)
16	14, 15	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → 𝑝 ∈ 𝑋)
17	13, 16	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → (𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋))
18		elssuni 4467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑒 → 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒)
19	18	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒)
20	17, 19, 14	3jca 1242	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋))
21		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → 𝑒 ⊆ 𝐽)
22	21	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) → 𝑐 ∈ 𝐽)
23	3	neipeltop 20933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐽 ↔ (𝑐 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑐 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)))
24	23	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐽 → ∀𝑝 ∈ 𝑐 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝))
25	22, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) → ∀𝑝 ∈ 𝑐 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝))
26	25	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝))
27	26	adantllr 755	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝))
28		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ↔ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒))
29	28	3anbi2d 1404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋)))
30		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)))
31	29, 30	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝))))
32	31	imbi1d 331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝))))
33	32	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝)))))
34		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑋)
36	9	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝑋 𝑋 ∈ (𝑁‘𝑝))
37	3	neipeltop 20933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 ↔ (𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑋 𝑋 ∈ (𝑁‘𝑝)))
38	35, 36, 37	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
39		pwexg 4850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
40		rabexg 4812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)} ∈ V)
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑝 ∈ 𝑎 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)} ∈ V)
42	3, 41	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → 𝐽 ∈ V)
44	43, 21	ssexd 4805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → 𝑒 ∈ V)
45		uniexg 6955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ V → ∪ 𝑒 ∈ V)
46		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑒 → (𝑎 ⊆ 𝑏 ↔ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒))
47		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑒 → (𝑏 ⊆ 𝑋 ↔ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋))
48	46, 47	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑒 → (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋)))
49	48	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑒 → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝))))
50		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑒 → (𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝) ↔ ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝)))
51	49, 50	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑒 → (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → 𝑏 ∈ (𝑁‘𝑝)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝))))
52	51, 5	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑒 ∈ V → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝)))
53	44, 45, 52	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝)))
54	33, 53	chvarv 2263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝)))
55	54	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑒 ∧ ∪ 𝑒 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝑁‘𝑝)) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝)))
56	20, 27, 55	mp2and 715	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) ∧ 𝑐 ∈ 𝑒) ∧ 𝑝 ∈ 𝑐) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝))
57		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) → 𝑝 ∈ ∪ 𝑒)
58		eluni2 4440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ∪ 𝑒 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑒 𝑝 ∈ 𝑐)
59	57, 58	sylib 208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) → ∃𝑐 ∈ 𝑒 𝑝 ∈ 𝑐)
60	56, 59	r19.29a 3078	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑒) → ∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝))
61	60	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑒∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝))
62	3	neipeltop 20933	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑒 ∈ 𝐽 ↔ (∪ 𝑒 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑒∪ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝)))
63	12, 61, 62	sylanbrc 698	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑒 ∈ 𝐽)
64	63	ex 450	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑒 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑒 ∈ 𝐽))
65	64	alrimiv 1855	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒(𝑒 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑒 ∈ 𝐽))
66		inss1 3833	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 ∩ 𝑓) ⊆ 𝑒
67	3	neipeltop 20933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐽 ↔ (𝑒 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑒 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝)))
68	67	simplbi 476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐽 → 𝑒 ⊆ 𝑋)
69	68	ad2antlr 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) → 𝑒 ⊆ 𝑋)
70	66, 69	syl5ss 3614	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) → (𝑒 ∩ 𝑓) ⊆ 𝑋)
71		simplll 798	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝜑)
72		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝑒 ∈ 𝐽)
73	72, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝑒 ⊆ 𝑋)
74		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓))
75	66, 74	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝑝 ∈ 𝑒)
76	73, 75	sseldd 3604	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝑝 ∈ 𝑋)
77	71, 76, 6	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → (fi‘(𝑁‘𝑝)) ⊆ (𝑁‘𝑝))
78	67	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐽 → ∀𝑝 ∈ 𝑒 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝))
79	78	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝐽 ∧ 𝑝 ∈ 𝑒) → 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝))
80	72, 75, 79	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝))
81		simplr 792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝑓 ∈ 𝐽)
82		inss2 3834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∩ 𝑓) ⊆ 𝑓
83	82, 74	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝑝 ∈ 𝑓)
84	3	neipeltop 20933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐽 ↔ (𝑓 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑓 𝑓 ∈ (𝑁‘𝑝)))
85	84	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐽 → ∀𝑝 ∈ 𝑓 𝑓 ∈ (𝑁‘𝑝))
86	85	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐽 ∧ 𝑝 ∈ 𝑓) → 𝑓 ∈ (𝑁‘𝑝))
87	81, 83, 86	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → 𝑓 ∈ (𝑁‘𝑝))
88		fvex 6201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁‘𝑝) ∈ V
89		inelfi 8324	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘𝑝) ∈ V ∧ 𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝) ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘𝑝)) → (𝑒 ∩ 𝑓) ∈ (fi‘(𝑁‘𝑝)))
90	88, 89	mp3an1 1411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ (𝑁‘𝑝) ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘𝑝)) → (𝑒 ∩ 𝑓) ∈ (fi‘(𝑁‘𝑝)))
91	80, 87, 90	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → (𝑒 ∩ 𝑓) ∈ (fi‘(𝑁‘𝑝)))
92	77, 91	sseldd 3604	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) ∧ 𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)) → (𝑒 ∩ 𝑓) ∈ (𝑁‘𝑝))
93	92	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) → ∀𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)(𝑒 ∩ 𝑓) ∈ (𝑁‘𝑝))
94	3	neipeltop 20933	. . . . 5 ⊢ ((𝑒 ∩ 𝑓) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑒 ∩ 𝑓) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑒 ∩ 𝑓)(𝑒 ∩ 𝑓) ∈ (𝑁‘𝑝)))
95	70, 93, 94	sylanbrc 698	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ 𝑓 ∈ 𝐽) → (𝑒 ∩ 𝑓) ∈ 𝐽)
96	95	ralrimiva 2966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) → ∀𝑓 ∈ 𝐽 (𝑒 ∩ 𝑓) ∈ 𝐽)
97	96	ralrimiva 2966	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝐽 ∀𝑓 ∈ 𝐽 (𝑒 ∩ 𝑓) ∈ 𝐽)
98		istopg 20700	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ V → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑒(𝑒 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐽 ∀𝑓 ∈ 𝐽 (𝑒 ∩ 𝑓) ∈ 𝐽)))
99	42, 98	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑒(𝑒 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑒 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐽 ∀𝑓 ∈ 𝐽 (𝑒 ∩ 𝑓) ∈ 𝐽)))
100	65, 97, 99	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037  ∀wal 1481   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158  ∪ cuni 4436  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  ficfi 8316  Topctop 20698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-top 20699

This theorem is referenced by:  neiptopnei  20936  neiptopreu  20937