Theorem nlt1pi 9728

Description: No positive integer is less than one. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nlt1pi	⊢ ¬ 𝐴 <N 1𝑜

Proof of Theorem nlt1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 9698	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2	1	simprbi 480	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ≠ ∅)
3		noel 3919	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
4		1pi 9705	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1𝑜 ∈ N
5		ltpiord 9709	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ 𝐴 ∈ 1𝑜))
6	4, 5	mpan2 707	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ 𝐴 ∈ 1𝑜))
7		df-1o 7560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
8	7	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 1𝑜 ↔ 𝐴 ∈ suc ∅)
9		elsucg 5792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
10	8, 9	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
11	6, 10	bitrd 268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
12	11	biimpa 501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1𝑜) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
13	12	ord 392	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1𝑜) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
14	3, 13	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐴 <N 1𝑜) → 𝐴 = ∅)
15	14	ex 450	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 <N 1𝑜 → 𝐴 = ∅))
16	15	necon3ad 2807	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1𝑜))
17	2, 16	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)
18		ltrelpi 9711	. . . . 5 ⊢ <N ⊆ (N × N)
19	18	brel 5168	. . . 4 ⊢ (𝐴 <N 1𝑜 → (𝐴 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N))
20	19	simpld 475	. . 3 ⊢ (𝐴 <N 1𝑜 → 𝐴 ∈ N)
21	20	con3i 150	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)
22	17, 21	pm2.61i 176	1 ⊢ ¬ 𝐴 <N 1𝑜

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  suc csuc 5725  ωcom 7065  1_𝑜c1o 7553  Ncnpi 9666   <_N clti 9669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-om 7066  df-1o 7560  df-ni 9694  df-lti 9697

This theorem is referenced by:  indpi  9729  pinq  9749  archnq  9802