Theorem nqerid 9755

Description: Corollary of nqereu 9751: the function [Q] acts as the identity on members of Q. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqerid	⊢ (𝐴 ∈ Q → ([Q]‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem nqerid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqerf 9752	. . 3 ⊢ [Q]:(N × N)⟶Q
2		ffun 6048	. . 3 ⊢ ([Q]:(N × N)⟶Q → Fun [Q])
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Fun [Q]
4		elpqn 9747	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ∈ (N × N))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ∈ Q)
6		enqer 9743	. . . . 5 ⊢ ~Q Er (N × N)
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ~Q Er (N × N))
8	7, 4	erref 7762	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ~Q 𝐴)
9		df-erq 9735	. . . . 5 ⊢ [Q] = ( ~Q ∩ ((N × N) × Q))
10	9	breqi 4659	. . . 4 ⊢ (𝐴[Q]𝐴 ↔ 𝐴( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝐴)
11		brinxp2 5180	. . . 4 ⊢ (𝐴( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝐴 ↔ (𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐴))
12	10, 11	bitri 264	. . 3 ⊢ (𝐴[Q]𝐴 ↔ (𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐴))
13	4, 5, 8, 12	syl3anbrc 1246	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴[Q]𝐴)
14		funbrfv 6234	. 2 ⊢ (Fun [Q] → (𝐴[Q]𝐴 → ([Q]‘𝐴) = 𝐴))
15	3, 13, 14	mpsyl 68	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ([Q]‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∩ cin 3573   class class class wbr 4653   × cxp 5112  Fun wfun 5882  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888   Er wer 7739  Ncnpi 9666   ~_Q ceq 9673  Qcnq 9674  [Q]cerq 9676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-mi 9696  df-lti 9697  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-1nq 9738

This theorem is referenced by:  addassnq  9780  mulassnq  9781  distrnq  9783  mulidnq  9785  recmulnq  9786  1lt2nq  9795  ltexnq  9797  prlem934  9855