Theorem brinxp2 5180

Description: Intersection of binary relation with Cartesian product. (Contributed by NM, 3-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brinxp2	⊢ (𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴𝑅𝐵))

Proof of Theorem brinxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brin 4704	. 2 ⊢ (𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵 ↔ (𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵))
2		ancom 466	. 2 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵) ↔ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝐵))
3		brxp 5147	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
4	3	anbi1i 731	. . 3 ⊢ ((𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴𝑅𝐵))
5		df-3an 1039	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴𝑅𝐵))
6	4, 5	bitr4i 267	. 2 ⊢ ((𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴𝑅𝐵))
7	1, 2, 6	3bitri 286	1 ⊢ (𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴𝑅𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990   ∩ cin 3573   class class class wbr 4653   × cxp 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120

This theorem is referenced by:  brinxp  5181  fncnv  5962  erinxp  7821  fpwwe2lem8  9459  fpwwe2lem9  9460  fpwwe2lem12  9463  nqerf  9752  nqerid  9755  isstruct  15870  pwsle  16152  psss  17214  psssdm2  17215  pi1cpbl  22844  pi1grplem  22849