Theorem opprlem 18628

Description: Lemma for opprbas 18629 and oppradd 18630. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprlem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
opprlem.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
opprlem.4	⊢ 𝑁 < 3

Assertion

Ref	Expression
opprlem	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Proof of Theorem opprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprlem.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		opprlem.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 15883	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	nnrei 11029	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5		opprlem.4	. . . . 5 ⊢ 𝑁 < 3
6	4, 5	ltneii 10150	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 3
7	1, 2	ndxarg 15882	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
8		mulrndx 15996	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
9	7, 8	neeq12i 2860	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 3)
10	6, 9	mpbir 221	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
11	3, 10	setsnid 15915	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
12		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
15	12, 13, 14	opprval 18624	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)
16	15	fveq2i 6194	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
17	11, 16	eqtr4i 2647	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  tpos ctpos 7351   < clt 10074  ℕcn 11020  3c3 11071  ndxcnx 15854   sSet csts 15855  Slot cslot 15856  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942  opp_rcoppr 18622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-sets 15864  df-mulr 15955  df-oppr 18623

This theorem is referenced by:  opprbas  18629  oppradd  18630