Theorem ndxarg 15882

Description: Get the numeric argument from a defined structure component extractor such as df-base 15863. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ndxarg.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
ndxarg	⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Proof of Theorem ndxarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 15860	. . . 4 ⊢ ndx = ( I ↾ ℕ)
2		nnex 11026	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3		resiexg 7102	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → ( I ↾ ℕ) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2697	. . 3 ⊢ ndx ∈ V
6		ndxarg.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
7	5, 6	strfvn 15879	. 2 ⊢ (𝐸‘ndx) = (ndx‘𝑁)
8	1	fveq1i 6192	. 2 ⊢ (ndx‘𝑁) = (( I ↾ ℕ)‘𝑁)
9		ndxarg.2	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		fvresi 6439	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁)
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁
12	7, 8, 11	3eqtri 2648	1 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Syntax hints:   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   I cid 5023   ↾ cres 5116  ‘cfv 5888  ℕcn 11020  ndxcnx 15854  Slot cslot 15856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021  df-ndx 15860  df-slot 15861

This theorem is referenced by:  ndxid  15883  ndxidOLD  15884  basendx  15923  basendxnn  15924  resslem  15933  plusgndx  15976  2strstr  15983  2strstr1  15986  2strop1  15988  basendxnplusgndx  15989  mulrndx  15996  basendxnmulrndx  15999  starvndx  16004  scandx  16013  vscandx  16015  ipndx  16022  tsetndx  16040  plendx  16047  plendxOLD  16048  ocndx  16060  dsndx  16062  unifndx  16064  homndx  16074  ccondx  16076  slotsbhcdif  16080  oppglem  17780  mgplem  18494  opprlem  18628  rmodislmod  18931  sralem  19177  opsrbaslem  19477  opsrbaslemOLD  19478  zlmlem  19865  znbaslem  19886  znbaslemOLD  19887  tnglem  22444  itvndx  25339  lngndx  25340  ttglem  25756  cchhllem  25767  edgfndxnn  25870  baseltedgf  25872  resvlem  29831  hlhilslem  37230