Proof of Theorem pmtr3ncomlem1
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | necom 2847 |
. . . . 5
⊢ (𝑌 ≠ 𝑍 ↔ 𝑍 ≠ 𝑌) |
2 | 1 | biimpi 206 |
. . . 4
⊢ (𝑌 ≠ 𝑍 → 𝑍 ≠ 𝑌) |
3 | 2 | 3ad2ant3 1084 |
. . 3
⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑍 ≠ 𝑌) |
4 | 3 | 3ad2ant3 1084 |
. 2
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ≠ 𝑌) |
5 | | simp1 1061 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝐷 ∈ 𝑉) |
6 | | simp1 1061 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → 𝑋 ∈ 𝐷) |
7 | 6 | 3ad2ant2 1083 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝐷) |
8 | | simp2 1062 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → 𝑌 ∈ 𝐷) |
9 | 8 | 3ad2ant2 1083 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝐷) |
10 | | prssi 4353 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷) |
11 | 7, 9, 10 | syl2anc 693 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷) |
12 | | simp1 1061 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑋 ≠ 𝑌) |
13 | 12 | 3ad2ant3 1084 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑌) |
14 | 7, 9, 13 | 3jca 1242 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) |
15 | | pr2nelem 8827 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ≈
2𝑜) |
16 | 14, 15 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ≈
2𝑜) |
17 | 5, 11, 16 | 3jca 1242 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈
2𝑜)) |
18 | | pmtr3ncom.t |
. . . . . . . 8
⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷) |
19 | 18 | pmtrf 17875 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜) →
(𝑇‘{𝑋, 𝑌}):𝐷⟶𝐷) |
20 | 17, 19 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝑇‘{𝑋, 𝑌}):𝐷⟶𝐷) |
21 | | pmtr3ncom.f |
. . . . . . 7
⊢ 𝐹 = (𝑇‘{𝑋, 𝑌}) |
22 | 21 | feq1i 6036 |
. . . . . 6
⊢ (𝐹:𝐷⟶𝐷 ↔ (𝑇‘{𝑋, 𝑌}):𝐷⟶𝐷) |
23 | 20, 22 | sylibr 224 |
. . . . 5
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝐹:𝐷⟶𝐷) |
24 | | ffn 6045 |
. . . . 5
⊢ (𝐹:𝐷⟶𝐷 → 𝐹 Fn 𝐷) |
25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . 4
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝐹 Fn 𝐷) |
26 | | fvco2 6273 |
. . . 4
⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹‘𝑋))) |
27 | 25, 7, 26 | syl2anc 693 |
. . 3
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹‘𝑋))) |
28 | 21 | fveq1i 6192 |
. . . . 5
⊢ (𝐹‘𝑋) = ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) |
29 | 18 | pmtrprfv 17873 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌) |
30 | 5, 14, 29 | syl2anc 693 |
. . . . 5
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌) |
31 | 28, 30 | syl5eq 2668 |
. . . 4
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑌) |
32 | 31 | fveq2d 6195 |
. . 3
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐺‘(𝐹‘𝑋)) = (𝐺‘𝑌)) |
33 | | pmtr3ncom.g |
. . . . 5
⊢ 𝐺 = (𝑇‘{𝑌, 𝑍}) |
34 | 33 | fveq1i 6192 |
. . . 4
⊢ (𝐺‘𝑌) = ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑌) |
35 | | simp3 1063 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → 𝑍 ∈ 𝐷) |
36 | 35 | 3ad2ant2 1083 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝐷) |
37 | | simp3 1063 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ≠ 𝑍) |
38 | 37 | 3ad2ant3 1084 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝑌 ≠ 𝑍) |
39 | 9, 36, 38 | 3jca 1242 |
. . . . 5
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) |
40 | 18 | pmtrprfv 17873 |
. . . . 5
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑌) = 𝑍) |
41 | 5, 39, 40 | syl2anc 693 |
. . . 4
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑌) = 𝑍) |
42 | 34, 41 | syl5eq 2668 |
. . 3
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐺‘𝑌) = 𝑍) |
43 | 27, 32, 42 | 3eqtrd 2660 |
. 2
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) = 𝑍) |
44 | | prssi 4353 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷) |
45 | 8, 35, 44 | syl2anc 693 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷) |
46 | 45 | 3ad2ant2 1083 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷) |
47 | | pr2nelem 8827 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → {𝑌, 𝑍} ≈
2𝑜) |
48 | 39, 47 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {𝑌, 𝑍} ≈
2𝑜) |
49 | 5, 46, 48 | 3jca 1242 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑌, 𝑍} ≈
2𝑜)) |
50 | 18 | pmtrf 17875 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑌, 𝑍} ≈ 2𝑜) →
(𝑇‘{𝑌, 𝑍}):𝐷⟶𝐷) |
51 | 33 | feq1i 6036 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐺:𝐷⟶𝐷 ↔ (𝑇‘{𝑌, 𝑍}):𝐷⟶𝐷) |
52 | 50, 51 | sylibr 224 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑌, 𝑍} ≈ 2𝑜) →
𝐺:𝐷⟶𝐷) |
53 | 49, 52 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝐺:𝐷⟶𝐷) |
54 | | ffn 6045 |
. . . . 5
⊢ (𝐺:𝐷⟶𝐷 → 𝐺 Fn 𝐷) |
55 | 53, 54 | syl 17 |
. . . 4
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝐺 Fn 𝐷) |
56 | | fvco2 6273 |
. . . 4
⊢ ((𝐺 Fn 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐺‘𝑋))) |
57 | 55, 7, 56 | syl2anc 693 |
. . 3
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐺‘𝑋))) |
58 | 33 | fveq1i 6192 |
. . . . 5
⊢ (𝐺‘𝑋) = ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑋) |
59 | | id 22 |
. . . . . 6
⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ 𝑉) |
60 | | 3anrot 1043 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ↔ (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷)) |
61 | 60 | biimpi 206 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷)) |
62 | | 3anrot 1043 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑌 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋 ∧ 𝑍 ≠ 𝑋) ↔ (𝑌 ≠ 𝑋 ∧ 𝑍 ≠ 𝑋 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) |
63 | | necom 2847 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑌 ≠ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌) |
64 | | necom 2847 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑍 ≠ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 𝑍) |
65 | | biid 251 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑌 ≠ 𝑍 ↔ 𝑌 ≠ 𝑍) |
66 | 63, 64, 65 | 3anbi123i 1251 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑌 ≠ 𝑋 ∧ 𝑍 ≠ 𝑋 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) |
67 | 62, 66 | sylbbr 226 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → (𝑌 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋 ∧ 𝑍 ≠ 𝑋)) |
68 | 18 | pmtrprfv3 17874 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) ∧ (𝑌 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋 ∧ 𝑍 ≠ 𝑋)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑋) = 𝑋) |
69 | 59, 61, 67, 68 | syl3an 1368 |
. . . . 5
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑋) = 𝑋) |
70 | 58, 69 | syl5eq 2668 |
. . . 4
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐺‘𝑋) = 𝑋) |
71 | 70 | fveq2d 6195 |
. . 3
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐹‘(𝐺‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋)) |
72 | 57, 71, 31 | 3eqtrd 2660 |
. 2
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = 𝑌) |
73 | 4, 43, 72 | 3netr4d 2871 |
1
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) ≠ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋)) |