Theorem xpscf 16226

Description: Equivalent condition for the pair function to be a proper function on 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpscf	⊢ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}):2𝑜⟶𝐴 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem xpscf

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifid 4125	. . . . . 6 ⊢ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) = 𝐴
2	1	eleq2i 2693	. . . . 5 ⊢ ((◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐴)
3	2	ralbii 2980	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐴)
4	3	anbi2i 730	. . 3 ⊢ ((◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)) ↔ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐴))
5		ovex 6678	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ V
6	5	cnvex 7113	. . . 4 ⊢ ◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ V
7	6	elixp 7915	. . 3 ⊢ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
8		ffnfv 6388	. . 3 ⊢ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}):2𝑜⟶𝐴 ↔ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐴))
9	4, 7, 8	3bitr4i 292	. 2 ⊢ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}):2𝑜⟶𝐴)
10		xpsfrnel2 16225	. 2 ⊢ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))
11	9, 10	bitr3i 266	1 ⊢ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}):2𝑜⟶𝐴 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∅c0 3915  ifcif 4086  {csn 4177  ^◡ccnv 5113   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  2_𝑜c2o 7554  Xcixp 7908   +_𝑐 ccda 8989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  xpsmnd  17330  xpsgrp  17534  dmdprdpr  18448  dprdpr  18449  xpstopnlem1  21612  xpstps  21613  xpsxms  22339  xpsms  22340