Theorem dmdprdpr 18448

Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprdpr.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdpr.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dmdprdpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dmdprdpr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
dmdprdpr	⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd ◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })))

Proof of Theorem dmdprdpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4790	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2		dmdprdpr.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		dprdsn 18435	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
4	1, 2, 3	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
5	4	simpld 475	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩})
6		dmdprdpr.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		xpscf 16226	. . . . . . . 8 ⊢ (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺))
9		ffn 6045	. . . . . . 7 ⊢ (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺) → ◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜)
11	1	prid1 4297	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
12		df2o3 7573	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
13	11, 12	eleqtrri 2700	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2𝑜
14		fnressn 6425	. . . . . 6 ⊢ ((◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩})
15	10, 13, 14	sylancl 694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩})
16		xpsc0 16220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅) = 𝑆)
17	2, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅) = 𝑆)
18	17	opeq2d 4409	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨∅, (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩ = ⟨∅, 𝑆⟩)
19	18	sneqd 4189	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩} = {⟨∅, 𝑆⟩})
20	15, 19	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, 𝑆⟩})
21	5, 20	breqtrrd 4681	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}))
22		1on 7567	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ On
23		dprdsn 18435	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇))
24	22, 6, 23	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇))
25	24	simpld 475	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩})
26	22	elexi 3213	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ∈ V
27	26	prid2 4298	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 ∈ {∅, 1𝑜}
28	27, 12	eleqtrri 2700	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ 2𝑜
29		fnressn 6425	. . . . . 6 ⊢ ((◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜 ∧ 1𝑜 ∈ 2𝑜) → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩})
30	10, 28, 29	sylancl 694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩})
31		xpsc1 16221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜) = 𝑇)
32	6, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜) = 𝑇)
33	32	opeq2d 4409	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨1𝑜, (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩ = ⟨1𝑜, 𝑇⟩)
34	33	sneqd 4189	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨1𝑜, (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩} = {⟨1𝑜, 𝑇⟩})
35	30, 34	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, 𝑇⟩})
36	25, 35	breqtrrd 4681	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))
37		1n0 7575	. . . . . . . . 9 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
38	37	necomi 2848	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ≠ 1𝑜
39		disjsn2 4247	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≠ 1𝑜 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
40	38, 39	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
41		df-pr 4180	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅, 1𝑜} = ({∅} ∪ {1𝑜})
42	12, 41	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ 2𝑜 = ({∅} ∪ {1𝑜})
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2𝑜 = ({∅} ∪ {1𝑜}))
44		dmdprdpr.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
45		dmdprdpr.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
46	8, 40, 43, 44, 45	dmdprdsplit 18446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd ◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺dom DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
47		3anass 1042	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺dom DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }) ↔ ((𝐺dom DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ ((𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
48	46, 47	syl6bb 276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd ◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺dom DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ ((𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }))))
49	48	baibd 948	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺dom DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) → (𝐺dom DProd ◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
50	49	ex 450	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺dom DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) → (𝐺dom DProd ◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }))))
51	21, 36, 50	mp2and 715	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd ◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
52	20	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) = (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}))
53	4	simprd 479	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆)
54	52, 53	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) = 𝑆)
55	35	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) = (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}))
56	24	simprd 479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇)
57	55, 56	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) = 𝑇)
58	57	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘(𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = (𝑍‘𝑇))
59	54, 58	sseq12d 3634	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)))
60	54, 57	ineq12d 3815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = (𝑆 ∩ 𝑇))
61	60	eqeq1d 2624	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 } ↔ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 }))
62	59, 61	anbi12d 747	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })))
63	51, 62	bitrd 268	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd ◡({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177  {cpr 4179  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114   ↾ cres 5116  Oncon0 5723   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1_𝑜c1o 7553  2_𝑜c2o 7554   +_𝑐 ccda 8989  0_gc0g 16100  SubGrpcsubg 17588  Cntzccntz 17748   DProd cdprd 18392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-dprd 18394

This theorem is referenced by:  dprdpr  18449