Theorem xpsn 6407

Description: The Cartesian product of two singletons. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsn.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpsn.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpsn	⊢ ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}

Proof of Theorem xpsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsn.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpsn.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpsng 6406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
4	1, 2, 3	mp2an 708	1 ⊢ ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}

Syntax hints:   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  {csn 4177  ⟨cop 4183   × cxp 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895

This theorem is referenced by:  dfmpt  6410  fpar  7281  mapsnconst  7903  ixpsnf1o  7948  cda1dif  8998  infcda1  9015  s1co  13579  xpsc0  16220  xpsc1  16221  mat1f1o  20284  txdis  21435  pt1hmeo  21609  utop2nei  22054  utop3cls  22055  imasdsf1olem  22178  ex-xp  27293  poimirlem3  33412  poimirlem4  33413  poimirlem9  33418  poimirlem28  33437  grposnOLD  33681  dib0  36453