Theorem xpsc1 16221

Description: The pair function maps 1 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsc1	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)

Proof of Theorem xpsc1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsc 16217	. . . 4 ⊢ ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
2	1	fveq1i 6192	. . 3 ⊢ (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘1𝑜)
3		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		fvi 6255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ V → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ‘𝑥) = 𝑥
6		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
7	6	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → ( I ‘𝑥) = ( I ‘𝐴))
8	5, 7	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = ( I ‘𝐴))
9		velsn 4193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {( I ‘𝐴)} ↔ 𝑥 = ( I ‘𝐴))
10	8, 9	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 ∈ {( I ‘𝐴)})
11	10	ssriv 3607	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴} ⊆ {( I ‘𝐴)}
12		xpss2 5229	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴} ⊆ {( I ‘𝐴)} → ({∅} × {𝐴}) ⊆ ({∅} × {( I ‘𝐴)}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({∅} × {𝐴}) ⊆ ({∅} × {( I ‘𝐴)})
14		0ex 4790	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
15		fvex 6201	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘𝐴) ∈ V
16	14, 15	xpsn 6407	. . . . . . . 8 ⊢ ({∅} × {( I ‘𝐴)}) = {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩}
17	13, 16	sseqtri 3637	. . . . . . 7 ⊢ ({∅} × {𝐴}) ⊆ {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩}
18	14, 15	funsn 5939	. . . . . . 7 ⊢ Fun {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩}
19		funss 5907	. . . . . . 7 ⊢ (({∅} × {𝐴}) ⊆ {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩} → (Fun {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩} → Fun ({∅} × {𝐴})))
20	17, 18, 19	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ Fun ({∅} × {𝐴})
21		funfn 5918	. . . . . 6 ⊢ (Fun ({∅} × {𝐴}) ↔ ({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴}))
22	20, 21	mpbi 220	. . . . 5 ⊢ ({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴})
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴}))
24		fnconstg 6093	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({1𝑜} × {𝐵}) Fn {1𝑜})
25		dmxpss 5565	. . . . . . 7 ⊢ dom ({∅} × {𝐴}) ⊆ {∅}
26		ssrin 3838	. . . . . . 7 ⊢ (dom ({∅} × {𝐴}) ⊆ {∅} → (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜}))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜})
28		1n0 7575	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
29	28	necomi 2848	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ≠ 1𝑜
30		disjsn2 4247	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≠ 1𝑜 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅
32		sseq0 3975	. . . . . 6 ⊢ (((dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜}) ∧ ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅) → (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) = ∅)
33	27, 31, 32	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) = ∅
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) = ∅)
35		1on 7567	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 ∈ On
36	35	elexi 3213	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ V
37	36	snid 4208	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ {1𝑜}
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 1𝑜 ∈ {1𝑜})
39		fvun2 6270	. . . 4 ⊢ ((({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴}) ∧ ({1𝑜} × {𝐵}) Fn {1𝑜} ∧ ((dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) = ∅ ∧ 1𝑜 ∈ {1𝑜})) → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘1𝑜) = (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜))
40	23, 24, 34, 38, 39	syl112anc 1330	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘1𝑜) = (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜))
41	2, 40	syl5eq 2668	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜))
42		xpsng 6406	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({1𝑜} × {𝐵}) = {⟨1𝑜, 𝐵⟩})
43	42	fveq1d 6193	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜) = ({⟨1𝑜, 𝐵⟩}‘1𝑜))
44		fvsng 6447	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({⟨1𝑜, 𝐵⟩}‘1𝑜) = 𝐵)
45	43, 44	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
46	35, 45	mpan 706	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
47	41, 46	eqtrd 2656	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177  ⟨cop 4183   I cid 5023   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114  Oncon0 5723  Fun wfun 5882   Fn wfn 5883  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1_𝑜c1o 7553   +_𝑐 ccda 8989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1o 7560  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  xpscfv  16222  xpsfeq  16224  xpsfrnel2  16225  xpsff1o  16228  xpsle  16241  dmdprdpr  18448  dprdpr  18449  xpstopnlem1  21612  xpstopnlem2  21614  xpsxmetlem  22184  xpsdsval  22186  xpsmet  22187