Theorem xpsc0 16220

Description: The pair function maps 0 to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsc0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem xpsc0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsc 16217	. . . 4 ⊢ ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
2	1	fveq1i 6192	. . 3 ⊢ (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘∅)
3		fnconstg 6093	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} × {𝐴}) Fn {∅})
4		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
5		fvi 6255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ V → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ‘𝑥) = 𝑥
7		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = 𝐵)
8	7	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → ( I ‘𝑥) = ( I ‘𝐵))
9	6, 8	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = ( I ‘𝐵))
10		velsn 4193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {( I ‘𝐵)} ↔ 𝑥 = ( I ‘𝐵))
11	9, 10	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 ∈ {( I ‘𝐵)})
12	11	ssriv 3607	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵} ⊆ {( I ‘𝐵)}
13		xpss2 5229	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐵} ⊆ {( I ‘𝐵)} → ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ ({1𝑜} × {( I ‘𝐵)}))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ ({1𝑜} × {( I ‘𝐵)})
15		1on 7567	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1𝑜 ∈ On
16	15	elexi 3213	. . . . . . . . 9 ⊢ 1𝑜 ∈ V
17		fvex 6201	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘𝐵) ∈ V
18	16, 17	xpsn 6407	. . . . . . . 8 ⊢ ({1𝑜} × {( I ‘𝐵)}) = {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩}
19	14, 18	sseqtri 3637	. . . . . . 7 ⊢ ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩}
20	16, 17	funsn 5939	. . . . . . 7 ⊢ Fun {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩}
21		funss 5907	. . . . . . 7 ⊢ (({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩} → (Fun {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩} → Fun ({1𝑜} × {𝐵})))
22	19, 20, 21	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ Fun ({1𝑜} × {𝐵})
23		funfn 5918	. . . . . 6 ⊢ (Fun ({1𝑜} × {𝐵}) ↔ ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵}))
24	22, 23	mpbi 220	. . . . 5 ⊢ ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵})
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵}))
26		dmxpss 5565	. . . . . . 7 ⊢ dom ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {1𝑜}
27		sslin 3839	. . . . . . 7 ⊢ (dom ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {1𝑜} → ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜}))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜})
29		1n0 7575	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
30	29	necomi 2848	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ≠ 1𝑜
31		disjsn2 4247	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≠ 1𝑜 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅
33		sseq0 3975	. . . . . 6 ⊢ ((({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜}) ∧ ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅) → ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅)
34	28, 32, 33	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅
35	34	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅)
36		0ex 4790	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
37	36	snid 4208	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅}
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ∈ {∅})
39		fvun1 6269	. . . 4 ⊢ ((({∅} × {𝐴}) Fn {∅} ∧ ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵}) ∧ (({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅ ∧ ∅ ∈ {∅})) → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
40	3, 25, 35, 38, 39	syl112anc 1330	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
41	2, 40	syl5eq 2668	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
42		xpsng 6406	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × {𝐴}) = {⟨∅, 𝐴⟩})
43	42	fveq1d 6193	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (({∅} × {𝐴})‘∅) = ({⟨∅, 𝐴⟩}‘∅))
44		fvsng 6447	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({⟨∅, 𝐴⟩}‘∅) = 𝐴)
45	43, 44	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (({∅} × {𝐴})‘∅) = 𝐴)
46	36, 45	mpan 706	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (({∅} × {𝐴})‘∅) = 𝐴)
47	41, 46	eqtrd 2656	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177  ⟨cop 4183   I cid 5023   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114  Oncon0 5723  Fun wfun 5882   Fn wfn 5883  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1_𝑜c1o 7553   +_𝑐 ccda 8989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1o 7560  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  xpscfv  16222  xpsfeq  16224  xpsfrnel2  16225  xpsff1o  16228  xpsle  16241  dmdprdpr  18448  dprdpr  18449  xpstopnlem1  21612  xpstopnlem2  21614  xpsxmetlem  22184  xpsdsval  22186  xpsmet  22187