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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cncongr2 | Unicode version | ||
| Description: The other direction of the bicondition in cncongr 10487. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| cncongr2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  
        
|
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | simpll3 979 |
. . 3
| |
| 2 | 0z 8362 |
. . . . . . 7
 | |
| 3 | zdceq 8423 |
. . . . . . 7
DECID | |
| 4 | 2, 3 | mpan2 415 |
. . . . . 6
DECID
|
| 5 | exmiddc 777 |
. . . . . 6
DECID
 
| |
| 6 | 4, 5 | syl 14 |
. . . . 5
|
| 7 | df-ne 2246 |
. . . . . 6
 
| |
| 8 | 7 | orbi2i 711 |
. . . . 5
|
| 9 | 6, 8 | sylibr 132 |
. . . 4
|
| 10 | zcn 8356 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 11 | 10 | mul01d 7497 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 12 | 11 | 3ad2ant1 959 |
. . . . . . . . . 10
|
| 13 | zcn 8356 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 14 | 13 | mul01d 7497 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 15 | 14 | 3ad2ant2 960 |
. . . . . . . . . 10
|
| 16 | 12, 15 | eqtr4d 2116 |
. . . . . . . . 9
|
| 17 | 16 | adantr 270 |
. . . . . . . 8
|
| 18 | 17 | oveq1d 5547 |
. . . . . . 7
|
| 19 | 18 | adantr 270 |
. . . . . 6
|
| 20 | oveq2 5540 |
. . . . . . . 8
| |
| 21 | 20 | oveq1d 5547 |
. . . . . . 7
|
| 22 | oveq2 5540 |
. . . . . . . 8
| |
| 23 | 22 | oveq1d 5547 |
. . . . . . 7
|
| 24 | 21, 23 | eqeq12d 2095 |
. . . . . 6
|
| 25 | 19, 24 | syl5ibr 154 |
. . . . 5
|
| 26 | oveq2 5540 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 27 | oveq2 5540 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 28 | 26, 27 | eqeq12d 2095 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 29 | 28 | adantl 271 |
. . . . . . . . . 10
|
| 30 | 29 | adantl 271 |
. . . . . . . . 9
|
| 31 | simpl 107 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 32 | simp3 940 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 33 | divgcdnnr 10367 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 31, 32, 33 | syl2anr 284 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | simpl1 941 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 36 | simpl2 942 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 37 | moddvds 10204 |
. . . . . . . . . 10
 
| |
| 38 | 34, 35, 36, 37 | syl3anc 1169 |
. . . . . . . . 9
|
| 39 | 34 | nnzd 8468 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | zsubcl 8392 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 41 | 40 | 3adant3 958 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 42 | 41 | adantr 270 |
. . . . . . . . . 10
|
| 43 | divides 10197 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 44 | 39, 42, 43 | syl2anc 403 |
. . . . . . . . 9
|
| 45 | 30, 38, 44 | 3bitrd 212 |
. . . . . . . 8
|
| 46 | simpr 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 47 | 39 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 48 | 47 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 49 | 46, 48 | zmulcld 8475 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 50 | 49 | zcnd 8470 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 51 | 40 | zcnd 8470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 52 | 51 | 3adant3 958 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 53 | 52 | ad3antrrr 475 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 54 | 32 | zcnd 8470 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 55 | 54 | ad3antrrr 475 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 56 | simpr 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 57 | 56 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 58 | 32 | ad3antrrr 475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 59 | 0zd 8363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 60 | zapne 8422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
# | |
| 61 | 58, 59, 60 | syl2anc 403 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
#
|
| 62 | 57, 61 | mpbird 165 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
# |
| 63 | 50, 53, 55, 62 | mulcanap2d 7752 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 64 | zcn 8356 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 65 | subdir 7490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 66 | 10, 13, 64, 65 | syl3an 1211 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 67 | 66 | ad3antrrr 475 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 68 | 67 | eqeq2d 2092 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 69 | 63, 68 | bitr3d 188 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 70 | nnz 8370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 71 | 70 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 72 | simpr 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 73 | 72 | zcnd 8470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 74 | 73 | adantl 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 75 | 54 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 76 | simpl 107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 77 | 76 | nnzd 8468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 78 | 32, 77 | anim12i 331 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 79 | gcdcl 10358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
 | |
| 80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 81 | 80 | nn0cnd 8343 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 82 | nnne0 8067 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 83 | 82 | neneqd 2266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 84 | 83 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 85 | 84 | adantl 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 86 | 85 | intnand 873 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 87 | gcdeq0 10368 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 88 | 78, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 89 | 88 | necon3abid 2284 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 90 | 86, 89 | mpbird 165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 91 | 80 | nn0zd 8467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 92 | 0zd 8363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 93 | zapne 8422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
#
| |
| 94 | 91, 92, 93 | syl2anc 403 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 95 | 90, 94 | mpbird 165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 96 | 74, 75, 81, 95 | divassapd 7912 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 97 | 72 | adantl 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 98 | 70, 82 | jca 300 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 99 | 98 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 100 | 32, 99 | anim12i 331 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 101 | 3anass 923 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 102 | 100, 101 | sylibr 132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 103 | divgcdz 10363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 104 | 102, 103 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 105 | 97, 104 | zmulcld 8475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 106 | 96, 105 | eqeltrd 2155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 107 | dvdsmul1 10217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 108 | 71, 106, 107 | syl2an2 558 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 109 | 76 | nncnd 8053 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 110 | 109 | adantl 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 111 | divmulasscomap 7784 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# | |
| 112 | 74, 110, 75, 81, 95, 111 | syl32anc 1177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 113 | 108, 112 | breqtrrd 3811 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 114 | 113 | exp32 357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 115 | 114 | adantrd 273 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 116 | 115 | imp 122 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 117 | 116 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 118 | 117 | imp 122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 119 | breq2 3789 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 120 | 118, 119 | syl5ibcom 153 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 121 | 69, 120 | sylbid 148 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 122 | 121 | rexlimdva 2477 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 123 | 31 | adantl 271 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 124 | zmulcl 8404 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 125 | 124 | 3adant2 957 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 126 | 125 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 127 | zmulcl 8404 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 128 | 127 | 3adant1 956 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 129 | 128 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 130 | moddvds 10204 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 131 | 123, 126, 129, 130 | syl3anc 1169 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 132 | 131 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 133 | 122, 132 | sylibrd 167 |
. . . . . . . . . 10
|
| 134 | 133 | ex 113 |
. . . . . . . . 9
|
| 135 | 134 | com23 77 |
. . . . . . . 8
|
| 136 | 45, 135 | sylbid 148 |
. . . . . . 7
|
| 137 | 136 | imp 122 |
. . . . . 6
|
| 138 | 137 | com12 30 |
. . . . 5
|
| 139 | 25, 138 | jaoi 668 |
. . . 4
|
| 140 | 9, 139 | syl 14 |
. . 3
|
| 141 | 1, 140 | mpcom 36 |
. 2
|
| 142 | 141 | ex 113 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 102
wb 103 wo 661 DECID wdc 775
w3a 919
wceq 1284
wcel 1433
wne 2245
wrex 2349
class class class wbr 3785 (class class class)co 5532
cc 6979
cc0 6981
cmul 6986
cmin 7279
# cap 7681 cdiv 7760 cn 8039 cn0 8288 cz 8351 cmo 9324 cdvds 10195 cgcd 10338 |
| This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 576 ax-in2 577 ax-io 662 ax-5 1376 ax-7 1377 ax-gen 1378 ax-ie1 1422 ax-ie2 1423 ax-8 1435 ax-10 1436 ax-11 1437 ax-i12 1438 ax-bndl 1439 ax-4 1440 ax-13 1444 ax-14 1445 ax-17 1459 ax-i9 1463 ax-ial 1467 ax-i5r 1468 ax-ext 2063 ax-coll 3893 ax-sep 3896 ax-nul 3904 ax-pow 3948 ax-pr 3964 ax-un 4188 ax-setind 4280 ax-iinf 4329 ax-cnex 7067 ax-resscn 7068 ax-1cn 7069 ax-1re 7070 ax-icn 7071 ax-addcl 7072 ax-addrcl 7073 ax-mulcl 7074 ax-mulrcl 7075 ax-addcom 7076 ax-mulcom 7077 ax-addass 7078 ax-mulass 7079 ax-distr 7080 ax-i2m1 7081 ax-0lt1 7082 ax-1rid 7083 ax-0id 7084 ax-rnegex 7085 ax-precex 7086 ax-cnre 7087 ax-pre-ltirr 7088 ax-pre-ltwlin 7089 ax-pre-lttrn 7090 ax-pre-apti 7091 ax-pre-ltadd 7092 ax-pre-mulgt0 7093 ax-pre-mulext 7094 ax-arch 7095 ax-caucvg 7096 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 776 df-3or 920 df-3an 921 df-tru 1287 df-fal 1290 df-nf 1390 df-sb 1686 df-eu 1944 df-mo 1945 df-clab 2068 df-cleq 2074 df-clel 2077 df-nfc 2208 df-ne 2246 df-nel 2340 df-ral 2353 df-rex 2354 df-reu 2355 df-rmo 2356 df-rab 2357 df-v 2603 df-sbc 2816 df-csb 2909 df-dif 2975 df-un 2977 df-in 2979 df-ss 2986 df-nul 3252 df-if 3352 df-pw 3384 df-sn 3404 df-pr 3405 df-op 3407 df-uni 3602 df-int 3637 df-iun 3680 df-br 3786 df-opab 3840 df-mpt 3841 df-tr 3876 df-id 4048 df-po 4051 df-iso 4052 df-iord 4121 df-on 4123 df-suc 4126 df-iom 4332 df-xp 4369 df-rel 4370 df-cnv 4371 df-co 4372 df-dm 4373 df-rn 4374 df-res 4375 df-ima 4376 df-iota 4887 df-fun 4924 df-fn 4925 df-f 4926 df-f1 4927 df-fo 4928 df-f1o 4929 df-fv 4930 df-riota 5488 df-ov 5535 df-oprab 5536 df-mpt2 5537 df-1st 5787 df-2nd 5788 df-recs 5943 df-frec 6001 df-sup 6397 df-pnf 7155 df-mnf 7156 df-xr 7157 df-ltxr 7158 df-le 7159 df-sub 7281 df-neg 7282 df-reap 7675 df-ap 7682 df-div 7761 df-inn 8040 df-2 8098 df-3 8099 df-4 8100 df-n0 8289 df-z 8352 df-uz 8620 df-q 8705 df-rp 8735 df-fz 9030 df-fzo 9153 df-fl 9274 df-mod 9325 df-iseq 9432 df-iexp 9476 df-cj 9729 df-re 9730 df-im 9731 df-rsqrt 9884 df-abs 9885 df-dvds 10196 df-gcd 10339 |
| This theorem is referenced by: cncongr 10487 |
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