Theorem en0 6298

Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88. (Contributed by NM, 27-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
en0	|- ( A ~~ (/) <-> A = (/) )

Proof of Theorem en0

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6251	. . 3 |- ( A ~~ (/) <-> E. f f : A -1-1-onto-> (/) )
2		f1ocnv 5159	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> (/) -> `' f : (/) -1-1-onto-> A )
3		f1o00 5181	. . . . . 6 |- ( `' f : (/) -1-1-onto-> A <-> ( `' f = (/) /\ A = (/) ) )
4	3	simprbi 269	. . . . 5 |- ( `' f : (/) -1-1-onto-> A -> A = (/) )
5	2, 4	syl 14	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> (/) -> A = (/) )
6	5	exlimiv 1529	. . 3 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> (/) -> A = (/) )
7	1, 6	sylbi 119	. 2 |- ( A ~~ (/) -> A = (/) )
8		0ex 3905	. . . 4 |- (/) e. _V
9	8	enref 6268	. . 3 |- (/) ~~ (/)
10		breq1 3788	. . 3 |- ( A = (/) -> ( A ~~ (/) <-> (/) ~~ (/) ) )
11	9, 10	mpbiri 166	. 2 |- ( A = (/) -> A ~~ (/) )
12	7, 11	impbii 124	1 |- ( A ~~ (/) <-> A = (/) )

Syntax hints:   <-> wb 103   = wceq 1284   E.wex 1421   (/)c0 3251   class class class wbr 3785   `'ccnv 4362   -1-1-onto->wf1o 4921   ~~ cen 6242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-en 6245

This theorem is referenced by:  nneneq  6343  php5  6344  snnen2oprc  6346  php5dom  6349  ssfilem  6360  fin0  6369  fin0or  6370  diffitest  6371  findcard  6372  findcard2  6373  findcard2s  6374  diffisn  6377