Theorem ex-fl 10563

Description: Example for df-fl 9274. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	|- ( ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1 /\ ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2 )

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7118	. . . 4 |- 1 e. RR
2		3re 8113	. . . . 5 |- 3 e. RR
3	2	rehalfcli 8279	. . . 4 |- ( 3 / 2 ) e. RR
4		2cn 8110	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
5	4	mulid2i 7122	. . . . . 6 |- ( 1 x. 2 ) = 2
6		2lt3 8202	. . . . . 6 |- 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 3804	. . . . 5 |- ( 1 x. 2 ) < 3
8		2pos 8130	. . . . . 6 |- 0 < 2
9		2re 8109	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
10	1, 2, 9	ltmuldivi 8000	. . . . . 6 |- ( 0 < 2 -> ( ( 1 x. 2 ) < 3 <-> 1 < ( 3 / 2 ) ) )
11	8, 10	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 2 ) < 3 <-> 1 < ( 3 / 2 ) )
12	7, 11	mpbi 143	. . . 4 |- 1 < ( 3 / 2 )
13	1, 3, 12	ltleii 7213	. . 3 |- 1 <_ ( 3 / 2 )
14		3lt4 8204	. . . . . 6 |- 3 < 4
15		2t2e4 8186	. . . . . 6 |- ( 2 x. 2 ) = 4
16	14, 15	breqtrri 3810	. . . . 5 |- 3 < ( 2 x. 2 )
17	9, 8	pm3.2i 266	. . . . . 6 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
18		ltdivmul 7954	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> 3 < ( 2 x. 2 ) ) )
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1268	. . . . 5 |- ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> 3 < ( 2 x. 2 ) )
20	16, 19	mpbir 144	. . . 4 |- ( 3 / 2 ) < 2
21		df-2 8098	. . . 4 |- 2 = ( 1 + 1 )
22	20, 21	breqtri 3808	. . 3 |- ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 )
23		3z 8380	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
24		2nn 8193	. . . . 5 |- 2 e. NN
25		znq 8709	. . . . 5 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( 3 / 2 ) e. QQ )
26	23, 24, 25	mp2an 416	. . . 4 |- ( 3 / 2 ) e. QQ
27		1z 8377	. . . 4 |- 1 e. ZZ
28		flqbi 9292	. . . 4 |- ( ( ( 3 / 2 ) e. QQ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( 3 / 2 ) /\ ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
29	26, 27, 28	mp2an 416	. . 3 |- ( ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( 3 / 2 ) /\ ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) ) )
30	13, 22, 29	mpbir2an 883	. 2 |- ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1
31	9	renegcli 7370	. . . 4 |- -u 2 e. RR
32	3	renegcli 7370	. . . 4 |- -u ( 3 / 2 ) e. RR
33	3, 9	ltnegi 7594	. . . . 5 |- ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> -u 2 < -u ( 3 / 2 ) )
34	20, 33	mpbi 143	. . . 4 |- -u 2 < -u ( 3 / 2 )
35	31, 32, 34	ltleii 7213	. . 3 |- -u 2 <_ -u ( 3 / 2 )
36	4	negcli 7376	. . . . . . 7 |- -u 2 e. CC
37		ax-1cn 7069	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
38		negdi2 7366	. . . . . . 7 |- ( ( -u 2 e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( -u 2 + 1 ) = ( -u -u 2 - 1 ) )
39	36, 37, 38	mp2an 416	. . . . . 6 |- -u ( -u 2 + 1 ) = ( -u -u 2 - 1 )
40	4	negnegi 7378	. . . . . . 7 |- -u -u 2 = 2
41	40	oveq1i 5542	. . . . . 6 |- ( -u -u 2 - 1 ) = ( 2 - 1 )
42	39, 41	eqtri 2101	. . . . 5 |- -u ( -u 2 + 1 ) = ( 2 - 1 )
43		2m1e1 8156	. . . . . 6 |- ( 2 - 1 ) = 1
44	43, 12	eqbrtri 3804	. . . . 5 |- ( 2 - 1 ) < ( 3 / 2 )
45	42, 44	eqbrtri 3804	. . . 4 |- -u ( -u 2 + 1 ) < ( 3 / 2 )
46	31, 1	readdcli 7132	. . . . 5 |- ( -u 2 + 1 ) e. RR
47	46, 3	ltnegcon1i 7600	. . . 4 |- ( -u ( -u 2 + 1 ) < ( 3 / 2 ) <-> -u ( 3 / 2 ) < ( -u 2 + 1 ) )
48	45, 47	mpbi 143	. . 3 |- -u ( 3 / 2 ) < ( -u 2 + 1 )
49		qnegcl 8721	. . . . 5 |- ( ( 3 / 2 ) e. QQ -> -u ( 3 / 2 ) e. QQ )
50	26, 49	ax-mp 7	. . . 4 |- -u ( 3 / 2 ) e. QQ
51		2z 8379	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
52		znegcl 8382	. . . . 5 |- ( 2 e. ZZ -> -u 2 e. ZZ )
53	51, 52	ax-mp 7	. . . 4 |- -u 2 e. ZZ
54		flqbi 9292	. . . 4 |- ( ( -u ( 3 / 2 ) e. QQ /\ -u 2 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2 <-> ( -u 2 <_ -u ( 3 / 2 ) /\ -u ( 3 / 2 ) < ( -u 2 + 1 ) ) ) )
55	50, 53, 54	mp2an 416	. . 3 |- ( ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2 <-> ( -u 2 <_ -u ( 3 / 2 ) /\ -u ( 3 / 2 ) < ( -u 2 + 1 ) ) )
56	35, 48, 55	mpbir2an 883	. 2 |- ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2
57	30, 56	pm3.2i 266	1 |- ( ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1 /\ ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2 )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   x. cmul 6986   < clt 7153   <_ cle 7154   - cmin 7279   -ucneg 7280   / cdiv 7760   NNcn 8039   2c2 8089   3c3 8090   4c4 8091   ZZcz 8351   QQcq 8704   |_cfl 9272

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-q 8705  df-rp 8735  df-fl 9274

This theorem is referenced by:  ex-ceil  10564