Theorem ex-fl 10563

Description: Example for df-fl 9274. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7118	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 8113	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 8279	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 8110	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mulid2i 7122	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 8202	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 3804	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 8130	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 8109	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 8000	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 143	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 7213	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 8204	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 8186	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 3810	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 266	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 7954	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1268	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 144	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 8098	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 3808	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		3z 8380	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
24		2nn 8193	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
25		znq 8709	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
26	23, 24, 25	mp2an 416	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
27		1z 8377	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		flqbi 9292	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
29	26, 27, 28	mp2an 416	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
30	13, 22, 29	mpbir2an 883	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
31	9	renegcli 7370	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
32	3	renegcli 7370	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
33	3, 9	ltnegi 7594	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
34	20, 33	mpbi 143	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
35	31, 32, 34	ltleii 7213	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
36	4	negcli 7376	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
37		ax-1cn 7069	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		negdi2 7366	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
39	36, 37, 38	mp2an 416	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
40	4	negnegi 7378	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
41	40	oveq1i 5542	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
42	39, 41	eqtri 2101	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
43		2m1e1 8156	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
44	43, 12	eqbrtri 3804	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
45	42, 44	eqbrtri 3804	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
46	31, 1	readdcli 7132	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
47	46, 3	ltnegcon1i 7600	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
48	45, 47	mpbi 143	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
49		qnegcl 8721	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
50	26, 49	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
51		2z 8379	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
52		znegcl 8382	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
53	51, 52	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
54		flqbi 9292	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
55	50, 53, 54	mp2an 416	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
56	35, 48, 55	mpbir2an 883	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
57	30, 56	pm3.2i 266	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  ℝcr 6980  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   · cmul 6986   < clt 7153   ≤ cle 7154   − cmin 7279  -cneg 7280   / cdiv 7760  ℕcn 8039  2c2 8089  3c3 8090  4c4 8091  ℤcz 8351  ℚcq 8704  ⌊cfl 9272

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-q 8705  df-rp 8735  df-fl 9274

This theorem is referenced by:  ex-ceil  10564