Theorem faclbnd2 9669

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd2	|- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) <_ ( ! ` N ) )

Proof of Theorem faclbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq2 9571	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
2		2t2e4 8186	. . . . . 6 |- ( 2 x. 2 ) = 4
3	1, 2	eqtr4i 2104	. . . . 5 |- ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 )
4	3	oveq2i 5543	. . . 4 |- ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 x. 2 ) )
5		2cn 8110	. . . . . 6 |- 2 e. CC
6		expp1 9483	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
7	5, 6	mpan 414	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
8	7	oveq1d 5547	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
9	4, 8	syl5eq 2125	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
10		expcl 9494	. . . . 5 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
11	5, 10	mpan 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. CC )
12	5	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> 2 e. CC )
13		2ap0 8132	. . . . 5 |- 2 # 0
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> 2 # 0 )
15	11, 12, 12, 12, 14, 14	divmuldivapd 7918	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. ( 2 / 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
16		2div2e1 8164	. . . . 5 |- ( 2 / 2 ) = 1
17	16	oveq2i 5543	. . . 4 |- ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. ( 2 / 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. 1 )
18	11	halfcld 8275	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) e. CC )
19	18	mulid1d 7136	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. 1 ) = ( ( 2 ^ N ) / 2 ) )
20	17, 19	syl5eq 2125	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. ( 2 / 2 ) ) = ( ( 2 ^ N ) / 2 ) )
21	9, 15, 20	3eqtr2rd 2120	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) = ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
22		2nn0 8305	. . . 4 |- 2 e. NN0
23		faclbnd 9668	. . . 4 |- ( ( 2 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) )
24	22, 23	mpan 414	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) )
25		2re 8109	. . . . 5 |- 2 e. RR
26		peano2nn0 8328	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
27		reexpcl 9493	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
28	25, 26, 27	sylancr 405	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
29		faccl 9662	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
30	29	nnred 8052	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
31		4re 8116	. . . . . . 7 |- 4 e. RR
32	1, 31	eqeltri 2151	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) e. RR
33		4pos 8136	. . . . . . 7 |- 0 < 4
34	33, 1	breqtrri 3810	. . . . . 6 |- 0 < ( 2 ^ 2 )
35	32, 34	pm3.2i 266	. . . . 5 |- ( ( 2 ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ 2 ) )
36		ledivmul 7955	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( 2 ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) <-> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) ) )
37	35, 36	mp3an3 1257	. . . 4 |- ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) <-> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) ) )
38	28, 30, 37	syl2anc 403	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) <-> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) ) )
39	24, 38	mpbird 165	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) )
40	21, 39	eqbrtrd 3805	1 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) <_ ( ! ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   x. cmul 6986   < clt 7153   <_ cle 7154   # cap 7681   / cdiv 7760   2c2 8089   4c4 8091   NN0cn0 8288   ^cexp 9475   !cfa 9652

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-rp 8735  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-fac 9653

This theorem is referenced by: (None)