Theorem faclbnd3 9670

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd3	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )

Proof of Theorem faclbnd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 8290	. 2 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
2		nnre 8046	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. RR )
3	2	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> M e. RR )
4		nnge1 8062	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> 1 <_ M )
5	4	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ M )
6		nn0z 8371	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
7	6	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
8		uzid 8633	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
9		peano2uz 8671	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
10	7, 8, 9	3syl 17	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
11	3, 5, 10	leexp2ad 9634	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) )
12		nnnn0 8295	. . . . 5 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
13		faclbnd 9668	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
14	12, 13	sylan 277	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
15		nn0re 8297	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
16		reexpcl 9493	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) e. RR )
17	15, 16	sylan 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) e. RR )
18		peano2nn0 8328	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
19		reexpcl 9493	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
20	15, 18, 19	syl2an 283	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
21		reexpcl 9493	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ M e. NN0 ) -> ( M ^ M ) e. RR )
22	15, 21	mpancom 413	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( M ^ M ) e. RR )
23		faccl 9662	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
24	23	nnred 8052	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
25		remulcl 7101	. . . . . . 7 |- ( ( ( M ^ M ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
26	22, 24, 25	syl2an 283	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
27		letr 7194	. . . . . 6 |- ( ( ( M ^ N ) e. RR /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR /\ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
28	17, 20, 26, 27	syl3anc 1169	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
29	12, 28	sylan 277	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
30	11, 14, 29	mp2and 423	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
31		elnn0 8290	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
32		0exp 9511	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 0 ^ N ) = 0 )
33		0le1 7585	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
34	32, 33	syl6eqbr 3822	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
35		oveq2 5540	. . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> ( 0 ^ N ) = ( 0 ^ 0 ) )
36		0exp0e1 9481	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ^ 0 ) = 1
37		1le1 7672	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 1
38	36, 37	eqbrtri 3804	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ^ 0 ) <_ 1
39	35, 38	syl6eqbr 3822	. . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
40	34, 39	jaoi 668	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
41	31, 40	sylbi 119	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
42		1nn 8050	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
43		nnmulcl 8060	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. NN /\ ( ! ` N ) e. NN ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. NN )
44	42, 23, 43	sylancr 405	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. NN )
45	44	nnge1d 8081	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
46		0re 7119	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
47		reexpcl 9493	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( 0 ^ N ) e. RR )
48	46, 47	mpan 414	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) e. RR )
49		1re 7118	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
50		remulcl 7101	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR )
51	49, 24, 50	sylancr 405	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR )
52		letr 7194	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 ^ N ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
53	49, 52	mp3an2 1256	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0 ^ N ) e. RR /\ ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
54	48, 51, 53	syl2anc 403	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
55	41, 45, 54	mp2and 423	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
56	55	adantl 271	. . . 4 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
57		oveq1 5539	. . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( M ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
58		oveq12 5541	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ M = 0 ) -> ( M ^ M ) = ( 0 ^ 0 ) )
59	58	anidms 389	. . . . . . . 8 |- ( M = 0 -> ( M ^ M ) = ( 0 ^ 0 ) )
60	59, 36	syl6eq 2129	. . . . . . 7 |- ( M = 0 -> ( M ^ M ) = 1 )
61	60	oveq1d 5547	. . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) = ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
62	57, 61	breq12d 3798	. . . . 5 |- ( M = 0 -> ( ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) <-> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
63	62	adantr 270	. . . 4 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) <-> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
64	56, 63	mpbird 165	. . 3 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
65	30, 64	jaoian 741	. 2 |- ( ( ( M e. NN \/ M = 0 ) /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
66	1, 65	sylanb 278	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   x. cmul 6986   <_ cle 7154   NNcn 8039   NN0cn0 8288   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   ^cexp 9475   !cfa 9652

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-rp 8735  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-fac 9653

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