Theorem faclbnd6 9671

Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd6	|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) )

Proof of Theorem faclbnd6

Dummy variables m k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5540	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( ( N + 1 ) ^ m ) = ( ( N + 1 ) ^ 0 ) )
2	1	oveq2d 5548	. . . . 5 |- ( m = 0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) )
3		oveq2 5540	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( N + m ) = ( N + 0 ) )
4	3	fveq2d 5202	. . . . 5 |- ( m = 0 -> ( ! ` ( N + m ) ) = ( ! ` ( N + 0 ) ) )
5	2, 4	breq12d 3798	. . . 4 |- ( m = 0 -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) <-> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) <_ ( ! ` ( N + 0 ) ) ) )
6	5	imbi2d 228	. . 3 |- ( m = 0 -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) <_ ( ! ` ( N + 0 ) ) ) ) )
7		oveq2 5540	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( ( N + 1 ) ^ m ) = ( ( N + 1 ) ^ k ) )
8	7	oveq2d 5548	. . . . 5 |- ( m = k -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) )
9		oveq2 5540	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( N + m ) = ( N + k ) )
10	9	fveq2d 5202	. . . . 5 |- ( m = k -> ( ! ` ( N + m ) ) = ( ! ` ( N + k ) ) )
11	8, 10	breq12d 3798	. . . 4 |- ( m = k -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) <-> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) )
12	11	imbi2d 228	. . 3 |- ( m = k -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) ) )
13		oveq2 5540	. . . . . 6 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( N + 1 ) ^ m ) = ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) )
14	13	oveq2d 5548	. . . . 5 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) )
15		oveq2 5540	. . . . . 6 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( N + m ) = ( N + ( k + 1 ) ) )
16	15	fveq2d 5202	. . . . 5 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ! ` ( N + m ) ) = ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) )
17	14, 16	breq12d 3798	. . . 4 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) <-> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) )
18	17	imbi2d 228	. . 3 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) ) )
19		oveq2 5540	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( ( N + 1 ) ^ m ) = ( ( N + 1 ) ^ M ) )
20	19	oveq2d 5548	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) )
21		oveq2 5540	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( N + m ) = ( N + M ) )
22	21	fveq2d 5202	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ! ` ( N + m ) ) = ( ! ` ( N + M ) ) )
23	20, 22	breq12d 3798	. . . 4 |- ( m = M -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) <-> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) ) )
24	23	imbi2d 228	. . 3 |- ( m = M -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ m ) ) <_ ( ! ` ( N + m ) ) ) <-> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) ) ) )
25		faccl 9662	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
26	25	nnred 8052	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
27	26	leidd 7615	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) <_ ( ! ` N ) )
28		nn0cn 8298	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
29		peano2cn 7243	. . . . . . . 8 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
31	30	exp0d 9599	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) ^ 0 ) = 1 )
32	31	oveq2d 5548	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) = ( ( ! ` N ) x. 1 ) )
33	25	nncnd 8053	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
34	33	mulid1d 7136	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. 1 ) = ( ! ` N ) )
35	32, 34	eqtrd 2113	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) = ( ! ` N ) )
36	28	addid1d 7257	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 0 ) = N )
37	36	fveq2d 5202	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` ( N + 0 ) ) = ( ! ` N ) )
38	27, 35, 37	3brtr4d 3815	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ 0 ) ) <_ ( ! ` ( N + 0 ) ) )
39	26	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` N ) e. RR )
40		peano2nn0 8328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
41	40	nn0red 8342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. RR )
42		reexpcl 9493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ k ) e. RR )
43	41, 42	sylan 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ k ) e. RR )
44	39, 43	remulcld 7149	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR )
45		nnnn0 8295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ! ` N ) e. NN -> ( ! ` N ) e. NN0 )
46	45	nn0ge0d 8344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ! ` N ) e. NN -> 0 <_ ( ! ` N ) )
47	25, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` N ) )
48	47	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( ! ` N ) )
49	41	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. RR )
50		simpr 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
51	40	nn0ge0d 8344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( N + 1 ) )
52	51	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( N + 1 ) )
53	49, 50, 52	expge0d 9623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( N + 1 ) ^ k ) )
54	39, 43, 48, 53	mulge0d 7721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) )
55	44, 54	jca 300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) ) )
56		nn0addcl 8323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + k ) e. NN0 )
57		faccl 9662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N + k ) e. NN0 -> ( ! ` ( N + k ) ) e. NN )
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( N + k ) ) e. NN )
59	58	nnred 8052	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( N + k ) ) e. RR )
60		nn0re 8297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
61		peano2nn0 8328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
62	61	nn0red 8342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. RR )
63		readdcl 7099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( N + ( k + 1 ) ) e. RR )
64	60, 62, 63	syl2an 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + ( k + 1 ) ) e. RR )
65	49, 52, 64	jca31 302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + ( k + 1 ) ) e. RR ) )
66	55, 59, 65	jca31 302	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) ) /\ ( ! ` ( N + k ) ) e. RR ) /\ ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + ( k + 1 ) ) e. RR ) ) )
67	66	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) ) /\ ( ! ` ( N + k ) ) e. RR ) /\ ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + ( k + 1 ) ) e. RR ) ) )
68		simpr 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) )
69	36	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 0 ) = N )
70		nn0ge0 8313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN0 -> 0 <_ k )
71	70	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ k )
72		nn0re 8297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
73	72	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> k e. RR )
74	60	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> N e. RR )
75		0re 7119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
76		leadd2 7535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR /\ k e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ k <-> ( N + 0 ) <_ ( N + k ) ) )
77	75, 76	mp3an1 1255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ k <-> ( N + 0 ) <_ ( N + k ) ) )
78	73, 74, 77	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( 0 <_ k <-> ( N + 0 ) <_ ( N + k ) ) )
79	71, 78	mpbid 145	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 0 ) <_ ( N + k ) )
80	69, 79	eqbrtrrd 3807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> N <_ ( N + k ) )
81	56	nn0red 8342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + k ) e. RR )
82		1re 7118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
83		leadd1 7534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ ( N + k ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( N <_ ( N + k ) <-> ( N + 1 ) <_ ( ( N + k ) + 1 ) ) )
84	82, 83	mp3an3 1257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ ( N + k ) e. RR ) -> ( N <_ ( N + k ) <-> ( N + 1 ) <_ ( ( N + k ) + 1 ) ) )
85	74, 81, 84	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ ( N + k ) <-> ( N + 1 ) <_ ( ( N + k ) + 1 ) ) )
86	80, 85	mpbid 145	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( ( N + k ) + 1 ) )
87		nn0cn 8298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
88		ax-1cn 7069	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
89		addass 7103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + k ) + 1 ) = ( N + ( k + 1 ) ) )
90	88, 89	mp3an3 1257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( N + k ) + 1 ) = ( N + ( k + 1 ) ) )
91	28, 87, 90	syl2an 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + k ) + 1 ) = ( N + ( k + 1 ) ) )
92	86, 91	breqtrd 3809	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( N + ( k + 1 ) ) )
93	92	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( N + 1 ) <_ ( N + ( k + 1 ) ) )
94	68, 93	jca 300	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) /\ ( N + 1 ) <_ ( N + ( k + 1 ) ) ) )
95		lemul12a 7940	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) ) /\ ( ! ` ( N + k ) ) e. RR ) /\ ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + ( k + 1 ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) /\ ( N + 1 ) <_ ( N + ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) <_ ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) ) )
96	67, 94, 95	sylc 61	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) <_ ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) )
97		expp1 9483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N + 1 ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) ^ k ) x. ( N + 1 ) ) )
98	30, 97	sylan 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) ^ k ) x. ( N + 1 ) ) )
99	98	oveq2d 5548	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( ( N + 1 ) ^ k ) x. ( N + 1 ) ) ) )
100	33	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` N ) e. CC )
101		expcl 9494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N + 1 ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ k ) e. CC )
102	30, 101	sylan 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) ^ k ) e. CC )
103	30	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. CC )
104	100, 102, 103	mulassd 7142	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( ( N + 1 ) ^ k ) x. ( N + 1 ) ) ) )
105	99, 104	eqtr4d 2116	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) )
106	105	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) x. ( N + 1 ) ) )
107		facp1 9657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N + k ) e. NN0 -> ( ! ` ( ( N + k ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( ( N + k ) + 1 ) ) )
108	56, 107	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( ( N + k ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( ( N + k ) + 1 ) ) )
109	91	fveq2d 5202	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( ( N + k ) + 1 ) ) = ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) )
110	91	oveq2d 5548	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( ( N + k ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) )
111	108, 109, 110	3eqtr3d 2121	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) )
112	111	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) = ( ( ! ` ( N + k ) ) x. ( N + ( k + 1 ) ) ) )
113	96, 106, 112	3brtr4d 3815	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) /\ ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) )
114	113	ex 113	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) )
115	114	expcom 114	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) ) )
116	115	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ k ) ) <_ ( ! ` ( N + k ) ) ) -> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) <_ ( ! ` ( N + ( k + 1 ) ) ) ) ) )
117	6, 12, 18, 24, 38, 116	nn0ind 8461	. 2 |- ( M e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) ) )
118	117	impcom 123	1 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) ^ M ) ) <_ ( ! ` ( N + M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   x. cmul 6986   <_ cle 7154   NNcn 8039   NN0cn0 8288   ^cexp 9475   !cfa 9652

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-fac 9653

This theorem is referenced by: (None)