Theorem fnn0ind 8463

Description: Induction on the integers from 0 to N inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnn0ind.1	|- ( x = 0 -> ( ph <-> ps ) )
fnn0ind.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
fnn0ind.3	|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
fnn0ind.4	|- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
fnn0ind.5	|- ( N e. NN0 -> ps )
fnn0ind.6	|- ( ( N e. NN0 /\ y e. NN0 /\ y < N ) -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
fnn0ind	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, K   x, N, y   ch, x   ph, y   ps, x   ta, x   th, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   K( y)

Proof of Theorem fnn0ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0z 8364	. . . 4 |- ( K e. NN0 <-> ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) )
2		nn0z 8371	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
3		0z 8362	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
4		fnn0ind.1	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ph <-> ps ) )
5		fnn0ind.2	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
6		fnn0ind.3	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
7		fnn0ind.4	. . . . . . . . 9 |- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
8		elnn0z 8364	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
9		fnn0ind.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ps )
10	8, 9	sylbir 133	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ps )
11	10	3adant1 956	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ps )
12		zre 8355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
13		zre 8355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
14		0re 7119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
15		lelttr 7199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 < N ) )
16		ltle 7198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
17	16	3adant2 957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
18	15, 17	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) )
19	14, 18	mp3an1 1255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) )
20	12, 13, 19	syl2an 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) )
21	20	ex 113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> 0 <_ N ) ) )
22	21	com23 77	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ZZ -> ( ( 0 <_ y /\ y < N ) -> ( N e. ZZ -> 0 <_ N ) ) )
23	22	3impib 1136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) -> ( N e. ZZ -> 0 <_ N ) )
24	23	impcom 123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> 0 <_ N )
25		elnn0z 8364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. NN0 <-> ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) )
26	25	anbi1i 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. NN0 /\ y < N ) <-> ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) /\ y < N ) )
27		fnn0ind.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN0 /\ y e. NN0 /\ y < N ) -> ( ch -> th ) )
28	27	3expb 1139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ ( y e. NN0 /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
29	8, 26, 28	syl2anbr 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) /\ ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
30	29	expcom 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) /\ y < N ) -> ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
31	30	3impa 1133	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) -> ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
32	31	expd 254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) -> ( N e. ZZ -> ( 0 <_ N -> ( ch -> th ) ) ) )
33	32	impcom 123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( 0 <_ N -> ( ch -> th ) ) )
34	24, 33	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
35	34	adantll 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
36	4, 5, 6, 7, 11, 35	fzind 8462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )
37	3, 36	mpanl1 424	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )
38	37	expcom 114	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) -> ( N e. ZZ -> ta ) )
39	2, 38	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) -> ( N e. NN0 -> ta ) )
40	39	3expa 1138	. . . 4 |- ( ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) /\ K <_ N ) -> ( N e. NN0 -> ta ) )
41	1, 40	sylanb 278	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ K <_ N ) -> ( N e. NN0 -> ta ) )
42	41	impcom 123	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ K <_ N ) ) -> ta )
43	42	3impb 1134	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   <_ cle 7154   NN0cn0 8288   ZZcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352

This theorem is referenced by:  nn0seqcvgd  10423