Theorem lcmgcdlem 10459

Description: Lemma for lcmgcd 10460 and lcmdvds 10461. Prove them for positive M, N, and K. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmgcdlem	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M lcm N ) x. ( M gcd N ) ) = ( abs ` ( M x. N ) ) /\ ( ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) -> ( M lcm N ) || K ) ) )

Proof of Theorem lcmgcdlem

Dummy variables n f g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmulcl 8060	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M x. N ) e. NN )
2	1	nnred 8052	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M x. N ) e. RR )
3		nnz 8370	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
4	3	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. ZZ )
5	4	zred 8469	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. RR )
6		nnz 8370	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
7	6	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
8	7	zred 8469	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. RR )
9		0red 7120	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> 0 e. RR )
10		nnre 8046	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. RR )
11		nngt0 8064	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> 0 < M )
12	9, 10, 11	ltled 7228	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> 0 <_ M )
13	12	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 <_ M )
14		0red 7120	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
15		nnre 8046	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. RR )
16		nngt0 8064	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 < N )
17	14, 15, 16	ltled 7228	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
18	17	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 <_ N )
19	5, 8, 13, 18	mulge0d 7721	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( M x. N ) )
20	2, 19	absidd 10053	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( abs ` ( M x. N ) ) = ( M x. N ) )
21	3, 6	anim12i 331	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
22		nnne0 8067	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M =/= 0 )
23	22	neneqd 2266	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> -. M = 0 )
24		nnne0 8067	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
25	24	neneqd 2266	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> -. N = 0 )
26	23, 25	anim12i 331	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( -. M = 0 /\ -. N = 0 ) )
27		ioran 701	. . . . . . 7 |- ( -. ( M = 0 \/ N = 0 ) <-> ( -. M = 0 /\ -. N = 0 ) )
28	26, 27	sylibr 132	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> -. ( M = 0 \/ N = 0 ) )
29		lcmn0val 10448	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( M = 0 \/ N = 0 ) ) -> ( M lcm N ) = inf ( { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } , RR , < ) )
30	21, 28, 29	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M lcm N ) = inf ( { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } , RR , < ) )
31		lttri3 7191	. . . . . . 7 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
32	31	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
33		gcddvds 10355	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
34	33	simpld 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) || M )
35		gcdcl 10358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) e. NN0 )
36	35	nn0zd 8467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) e. ZZ )
37		dvdsmultr1 10233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M -> ( M gcd N ) || ( M x. N ) ) )
38	37	3expb 1139	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( M gcd N ) || M -> ( M gcd N ) || ( M x. N ) ) )
39	36, 38	mpancom 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M -> ( M gcd N ) || ( M x. N ) ) )
40	34, 39	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) || ( M x. N ) )
41	21, 40	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) || ( M x. N ) )
42		gcdnncl 10359	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. NN )
43		nndivdvds 10201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M x. N ) e. NN /\ ( M gcd N ) e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || ( M x. N ) <-> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. NN ) )
44	1, 42, 43	syl2anc 403	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || ( M x. N ) <-> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. NN ) )
45	41, 44	mpbid 145	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. NN )
46	45	nnred 8052	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. RR )
47	33	simprd 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) || N )
48	21, 47	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) || N )
49	21, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. ZZ )
50	42	nnne0d 8083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) =/= 0 )
51		dvdsval2 10198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ ( M gcd N ) =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || N <-> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
52	49, 50, 7, 51	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || N <-> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
53	48, 52	mpbid 145	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
54		dvdsmul1 10217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) -> M || ( M x. ( N / ( M gcd N ) ) ) )
55	4, 53, 54	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M || ( M x. ( N / ( M gcd N ) ) ) )
56		nncn 8047	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> M e. CC )
57	56	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. CC )
58		nncn 8047	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. CC )
59	58	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. CC )
60	42	nncnd 8053	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. CC )
61	42	nnap0d 8084	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) # 0 )
62	57, 59, 60, 61	divassapd 7912	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) = ( M x. ( N / ( M gcd N ) ) ) )
63	55, 62	breqtrrd 3811	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) )
64	21, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) || M )
65		dvdsval2 10198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M gcd N ) e. ZZ /\ ( M gcd N ) =/= 0 /\ M e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M <-> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
66	49, 50, 4, 65	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M <-> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) )
67	64, 66	mpbid 145	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
68		dvdsmul1 10217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( M / ( M gcd N ) ) e. ZZ ) -> N || ( N x. ( M / ( M gcd N ) ) ) )
69	7, 67, 68	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N || ( N x. ( M / ( M gcd N ) ) ) )
70	57, 59	mulcomd 7140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M x. N ) = ( N x. M ) )
71	70	oveq1d 5547	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) = ( ( N x. M ) / ( M gcd N ) ) )
72	59, 57, 60, 61	divassapd 7912	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( N x. M ) / ( M gcd N ) ) = ( N x. ( M / ( M gcd N ) ) ) )
73	71, 72	eqtrd 2113	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) = ( N x. ( M / ( M gcd N ) ) ) )
74	69, 73	breqtrrd 3811	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> N || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) )
75	63, 74	jca 300	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) /\ N || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) )
76		breq2 3789	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) -> ( M || x <-> M || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) )
77		breq2 3789	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) -> ( N || x <-> N || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) )
78	76, 77	anbi12d 456	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) -> ( ( M || x /\ N || x ) <-> ( M || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) /\ N || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) ) )
79	78	elrab 2749	. . . . . . 7 |- ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } <-> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. NN /\ ( M || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) /\ N || ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) ) )
80	45, 75, 79	sylanbrc 408	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } )
81	46	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. RR )
82		elrabi 2746	. . . . . . . . 9 |- ( n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } -> n e. NN )
83	82	nnred 8052	. . . . . . . 8 |- ( n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } -> n e. RR )
84	83	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } ) -> n e. RR )
85		breq2 3789	. . . . . . . . . 10 |- ( x = n -> ( M || x <-> M || n ) )
86		breq2 3789	. . . . . . . . . 10 |- ( x = n -> ( N || x <-> N || n ) )
87	85, 86	anbi12d 456	. . . . . . . . 9 |- ( x = n -> ( ( M || x /\ N || x ) <-> ( M || n /\ N || n ) ) )
88	87	elrab 2749	. . . . . . . 8 |- ( n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } <-> ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) )
89		bezout 10400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) )
90	21, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) )
91	90	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) )
92		nncn 8047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. NN -> n e. CC )
93	92	ad2antlr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> n e. CC )
94	1	nncnd 8053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M x. N ) e. CC )
95	94	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M x. N ) e. CC )
96	60	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M gcd N ) e. CC )
97	57	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> M e. CC )
98	58	ad3antlr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> N e. CC )
99		simplll 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> M e. NN )
100	99	nnap0d 8084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> M # 0 )
101		simpllr 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> N e. NN )
102	101	nnap0d 8084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> N # 0 )
103	97, 98, 100, 102	mulap0d 7748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M x. N ) # 0 )
104	61	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M gcd N ) # 0 )
105	93, 95, 96, 103, 104	divdivap2d 7909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) = ( ( n x. ( M gcd N ) ) / ( M x. N ) ) )
106	105	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) = ( ( n x. ( M gcd N ) ) / ( M x. N ) ) )
107		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> ( n x. ( M gcd N ) ) = ( n x. ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) )
108	107	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> ( ( n x. ( M gcd N ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( n x. ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) / ( M x. N ) ) )
109		zcn 8356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
110	109	ad2antrl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. CC )
111	97, 110	mulcld 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M x. x ) e. CC )
112		zcn 8356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
113	112	ad2antll 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. CC )
114	98, 113	mulcld 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( N x. y ) e. CC )
115	93, 111, 114	adddid 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) = ( ( n x. ( M x. x ) ) + ( n x. ( N x. y ) ) ) )
116	115	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( n x. ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( ( n x. ( M x. x ) ) + ( n x. ( N x. y ) ) ) / ( M x. N ) ) )
117	93, 111	mulcld 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. ( M x. x ) ) e. CC )
118	93, 114	mulcld 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. ( N x. y ) ) e. CC )
119	117, 118, 95, 103	divdirapd 7915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( n x. ( M x. x ) ) + ( n x. ( N x. y ) ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) + ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) ) )
120	116, 119	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( n x. ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) + ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) ) )
121	108, 120	sylan9eqr 2135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( ( n x. ( M gcd N ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) + ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) ) )
122	93, 97, 110	mul12d 7260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. ( M x. x ) ) = ( M x. ( n x. x ) ) )
123	122	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( M x. ( n x. x ) ) / ( M x. N ) ) )
124	93, 110	mulcld 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. x ) e. CC )
125	124, 98, 97, 102, 100	divcanap5d 7903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M x. ( n x. x ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( n x. x ) / N ) )
126	123, 125	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( n x. x ) / N ) )
127	93, 98, 113	mul12d 7260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. ( N x. y ) ) = ( N x. ( n x. y ) ) )
128	127	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( N x. ( n x. y ) ) / ( M x. N ) ) )
129	70	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M x. N ) = ( N x. M ) )
130	129	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( N x. ( n x. y ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( N x. ( n x. y ) ) / ( N x. M ) ) )
131	93, 113	mulcld 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. y ) e. CC )
132	131, 97, 98, 100, 102	divcanap5d 7903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( N x. ( n x. y ) ) / ( N x. M ) ) = ( ( n x. y ) / M ) )
133	128, 130, 132	3eqtrd 2117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) = ( ( n x. y ) / M ) )
134	126, 133	oveq12d 5550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) + ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) ) = ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) )
135	134	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( ( ( n x. ( M x. x ) ) / ( M x. N ) ) + ( ( n x. ( N x. y ) ) / ( M x. N ) ) ) = ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) )
136	106, 121, 135	3eqtrd 2117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) = ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) )
137	136	ex 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) = ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) ) )
138	137	adantlrr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) = ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) ) )
139	138	imp 122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) = ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) )
140	6	ad3antlr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
141		nnz 8370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
142	141	ad2antlr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> n e. ZZ )
143		simprl 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. ZZ )
144		dvdsmultr1 10233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( N || n -> N || ( n x. x ) ) )
145	140, 142, 143, 144	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( N || n -> N || ( n x. x ) ) )
146	24	ad3antlr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> N =/= 0 )
147	142, 143	zmulcld 8475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. x ) e. ZZ )
148		dvdsval2 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 /\ ( n x. x ) e. ZZ ) -> ( N || ( n x. x ) <-> ( ( n x. x ) / N ) e. ZZ ) )
149	140, 146, 147, 148	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( N || ( n x. x ) <-> ( ( n x. x ) / N ) e. ZZ ) )
150	145, 149	sylibd 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( N || n -> ( ( n x. x ) / N ) e. ZZ ) )
151	150	adantld 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M || n /\ N || n ) -> ( ( n x. x ) / N ) e. ZZ ) )
152	151	3impia 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( M || n /\ N || n ) ) -> ( ( n x. x ) / N ) e. ZZ )
153	3	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
154		simprr 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. ZZ )
155		dvdsmultr1 10233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( M || n -> M || ( n x. y ) ) )
156	153, 142, 154, 155	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M || n -> M || ( n x. y ) ) )
157	22	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> M =/= 0 )
158	142, 154	zmulcld 8475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( n x. y ) e. ZZ )
159		dvdsval2 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ ( n x. y ) e. ZZ ) -> ( M || ( n x. y ) <-> ( ( n x. y ) / M ) e. ZZ ) )
160	153, 157, 158, 159	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M || ( n x. y ) <-> ( ( n x. y ) / M ) e. ZZ ) )
161	156, 160	sylibd 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( M || n -> ( ( n x. y ) / M ) e. ZZ ) )
162	161	adantrd 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M || n /\ N || n ) -> ( ( n x. y ) / M ) e. ZZ ) )
163	162	3impia 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( M || n /\ N || n ) ) -> ( ( n x. y ) / M ) e. ZZ )
164	152, 163	zaddcld 8473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( M || n /\ N || n ) ) -> ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) e. ZZ )
165	164	3expia 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M || n /\ N || n ) -> ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) e. ZZ ) )
166	165	an32s 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( M || n /\ N || n ) -> ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) e. ZZ ) )
167	166	impr 371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) e. ZZ )
168	167	an32s 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) e. ZZ )
169	168	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( ( ( n x. x ) / N ) + ( ( n x. y ) / M ) ) e. ZZ )
170	139, 169	eqeltrd 2155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) e. ZZ )
171	45	nnzd 8468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
172	171	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
173	45	nnne0d 8083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) =/= 0 )
174	173	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) =/= 0 )
175	142	adantlrr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> n e. ZZ )
176		dvdsval2 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. ZZ /\ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) =/= 0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) e. ZZ ) )
177	172, 174, 175, 176	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) e. ZZ ) )
178	177	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> ( n / ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) ) e. ZZ ) )
179	170, 178	mpbird 165	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n )
180	179	ex 113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n ) )
181	180	anassrs 392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n ) )
182	181	reximdva 2463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( E. y e. ZZ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n ) )
183	182	reximdva 2463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( M gcd N ) = ( ( M x. x ) + ( N x. y ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n ) )
184	91, 183	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n )
185		1z 8377	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
186		elex2 2615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. ZZ -> E. w w e. ZZ )
187		r19.9rmv 3333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w w e. ZZ -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n ) )
188	185, 186, 187	mp2b 8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n )
189		r19.9rmv 3333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w w e. ZZ -> ( E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n ) )
190	185, 186, 189	mp2b 8	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n )
191	188, 190	bitri 182	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n )
192	184, 191	sylibr 132	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n )
193	171	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. ZZ )
194		simprl 497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> n e. NN )
195		dvdsle 10244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) e. ZZ /\ n e. NN ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) <_ n ) )
196	193, 194, 195	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) <_ n ) )
197	192, 196	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) <_ n )
198	88, 197	sylan2b 281	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) <_ n )
199	81, 84, 198	lensymd 7231	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } ) -> -. n < ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) )
200	32, 46, 80, 199	infminti 6440	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> inf ( { x e. NN | ( M || x /\ N || x ) } , RR , < ) = ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) )
201	30, 200	eqtr2d 2114	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) = ( M lcm N ) )
202	201, 45	eqeltrrd 2156	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M lcm N ) e. NN )
203	202	nncnd 8053	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M lcm N ) e. CC )
204	94, 203, 60, 61	divmulap3d 7911	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) = ( M lcm N ) <-> ( M x. N ) = ( ( M lcm N ) x. ( M gcd N ) ) ) )
205	201, 204	mpbid 145	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M x. N ) = ( ( M lcm N ) x. ( M gcd N ) ) )
206	20, 205	eqtr2d 2114	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M lcm N ) x. ( M gcd N ) ) = ( abs ` ( M x. N ) ) )
207		simprl 497	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) ) -> K e. NN )
208		eleq1 2141	. . . . . . . 8 |- ( n = K -> ( n e. NN <-> K e. NN ) )
209		breq2 3789	. . . . . . . . 9 |- ( n = K -> ( M || n <-> M || K ) )
210		breq2 3789	. . . . . . . . 9 |- ( n = K -> ( N || n <-> N || K ) )
211	209, 210	anbi12d 456	. . . . . . . 8 |- ( n = K -> ( ( M || n /\ N || n ) <-> ( M || K /\ N || K ) ) )
212	208, 211	anbi12d 456	. . . . . . 7 |- ( n = K -> ( ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) <-> ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) ) )
213	212	anbi2d 451	. . . . . 6 |- ( n = K -> ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) <-> ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) ) ) )
214		breq2 3789	. . . . . 6 |- ( n = K -> ( ( M lcm N ) || n <-> ( M lcm N ) || K ) )
215	213, 214	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( n = K -> ( ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( M lcm N ) || n ) <-> ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) ) -> ( M lcm N ) || K ) ) )
216	201	breq1d 3795	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> ( M lcm N ) || n ) )
217	216	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( ( ( M x. N ) / ( M gcd N ) ) || n <-> ( M lcm N ) || n ) )
218	192, 217	mpbid 145	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( n e. NN /\ ( M || n /\ N || n ) ) ) -> ( M lcm N ) || n )
219	215, 218	vtoclg 2658	. . . 4 |- ( K e. NN -> ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) ) -> ( M lcm N ) || K ) )
220	207, 219	mpcom 36	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) ) -> ( M lcm N ) || K )
221	220	ex 113	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) -> ( M lcm N ) || K ) )
222	206, 221	jca 300	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M lcm N ) x. ( M gcd N ) ) = ( abs ` ( M x. N ) ) /\ ( ( K e. NN /\ ( M || K /\ N || K ) ) -> ( M lcm N ) || K ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   /\ w3a 919   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   =/= wne 2245   E.wrex 2349   {crab 2352   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532  infcinf 6396   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   x. cmul 6986   < clt 7153   <_ cle 7154   # cap 7681   / cdiv 7760   NNcn 8039   ZZcz 8351   abscabs 9883   || cdvds 10195   gcd cgcd 10338   lcm clcm 10442

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-isom 4931  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-sup 6397  df-inf 6398  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fz 9030  df-fzo 9153  df-fl 9274  df-mod 9325  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196  df-gcd 10339  df-lcm 10443

This theorem is referenced by:  lcmgcd  10460  lcmdvds  10461