Theorem ordiso2 6446

Description: Generalize ordiso 6447 to proper classes. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordiso2	|- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A = B )

Proof of Theorem ordiso2

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsson 4236	. . . . . 6 |- ( Ord A -> A C_ On )
2	1	3ad2ant2 960	. . . . 5 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A C_ On )
3	2	sseld 2998	. . . 4 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> x e. On ) )
4		eleq1 2141	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
5		fveq2 5198	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
6		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> x = y )
7	5, 6	eqeq12d 2095	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) = x <-> ( F ` y ) = y ) )
8	4, 7	imbi12d 232	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) <-> ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) )
9	8	imbi2d 228	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) <-> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) ) )
10		r19.21v 2438	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) <-> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) )
11		ordelss 4134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> x C_ A )
12	11	3ad2antl2 1101	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) -> x C_ A )
13	12	sselda 2999	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) /\ y e. x ) -> y e. A )
14		pm5.5 240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. A -> ( ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) <-> ( F ` y ) = y ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) /\ y e. x ) -> ( ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) <-> ( F ` y ) = y ) )
16	15	ralbidva 2364	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) <-> A. y e. x ( F ` y ) = y ) )
17		isof1o 5467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F Isom _E , _E ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
18	17	3ad2ant1 959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
19	18	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> F : A -1-1-onto-> B )
20		simpll3 979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> Ord B )
21		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> z e. ( F ` x ) )
22		f1of 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
23	17, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F Isom _E , _E ( A , B ) -> F : A --> B )
24	23	3ad2ant1 959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> F : A --> B )
25	24	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> F : A --> B )
26		simplrl 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> x e. A )
27	25, 26	ffvelrnd 5324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` x ) e. B )
28	21, 27	jca 300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( z e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. B ) )
29		ordtr1 4143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord B -> ( ( z e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. B ) -> z e. B ) )
30	20, 28, 29	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> z e. B )
31		f1ocnvfv2 5438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ z e. B ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
32	19, 30, 31	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
33	32, 21	eqeltrd 2155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F ` x ) )
34		simpll1 977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> F Isom _E , _E ( A , B ) )
35		f1ocnv 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
36		f1of 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B --> A )
37	19, 35, 36	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> `' F : B --> A )
38	37, 30	ffvelrnd 5324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( `' F ` z ) e. A )
39		isorel 5468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ ( ( `' F ` z ) e. A /\ x e. A ) ) -> ( ( `' F ` z ) _E x <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) _E ( F ` x ) ) )
40	34, 38, 26, 39	syl12anc 1167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( ( `' F ` z ) _E x <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) _E ( F ` x ) ) )
41		vex 2604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- x e. _V
42	41	epelc 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( `' F ` z ) _E x <-> ( `' F ` z ) e. x )
43	42	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( ( `' F ` z ) _E x <-> ( `' F ` z ) e. x ) )
44		f1ofn 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F Fn A )
45	17, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F Isom _E , _E ( A , B ) -> F Fn A )
46		funfvex 5212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
47	46	funfni 5019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
48	45, 47	sylan 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
49	34, 26, 48	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` x ) e. _V )
50		epelg 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( ( F ` ( `' F ` z ) ) _E ( F ` x ) <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F ` x ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` z ) ) _E ( F ` x ) <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F ` x ) ) )
52	40, 43, 51	3bitr3d 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( ( `' F ` z ) e. x <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F ` x ) ) )
53	33, 52	mpbird 165	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( `' F ` z ) e. x )
54		simplrr 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> A. y e. x ( F ` y ) = y )
55		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( `' F ` z ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( `' F ` z ) ) )
56		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( `' F ` z ) -> y = ( `' F ` z ) )
57	55, 56	eqeq12d 2095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( `' F ` z ) -> ( ( F ` y ) = y <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) = ( `' F ` z ) ) )
58	57	rspcv 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( `' F ` z ) e. x -> ( A. y e. x ( F ` y ) = y -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = ( `' F ` z ) ) )
59	53, 54, 58	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = ( `' F ` z ) )
60	32, 59	eqtr3d 2115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> z = ( `' F ` z ) )
61	60, 53	eqeltrd 2155	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. ( F ` x ) ) -> z e. x )
62		simprr 498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> A. y e. x ( F ` y ) = y )
63		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
64		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> y = z )
65	63, 64	eqeq12d 2095	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> ( ( F ` y ) = y <-> ( F ` z ) = z ) )
66	65	rspccva 2700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. y e. x ( F ` y ) = y /\ z e. x ) -> ( F ` z ) = z )
67	62, 66	sylan 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( F ` z ) = z )
68		epel 4047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z _E x <-> z e. x )
69	68	biimpri 131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. x -> z _E x )
70	69	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> z _E x )
71		simpll1 977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> F Isom _E , _E ( A , B ) )
72		simpl2 942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> Ord A )
73		simprl 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> x e. A )
74	72, 73, 11	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> x C_ A )
75	74	sselda 2999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> z e. A )
76		simplrl 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> x e. A )
77		isorel 5468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ ( z e. A /\ x e. A ) ) -> ( z _E x <-> ( F ` z ) _E ( F ` x ) ) )
78	71, 75, 76, 77	syl12anc 1167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( z _E x <-> ( F ` z ) _E ( F ` x ) ) )
79	70, 78	mpbid 145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( F ` z ) _E ( F ` x ) )
80	71, 76, 48	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( F ` x ) e. _V )
81		epelg 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( ( F ` z ) _E ( F ` x ) <-> ( F ` z ) e. ( F ` x ) ) )
82	80, 81	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( ( F ` z ) _E ( F ` x ) <-> ( F ` z ) e. ( F ` x ) ) )
83	79, 82	mpbid 145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> ( F ` z ) e. ( F ` x ) )
84	67, 83	eqeltrrd 2156	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) /\ z e. x ) -> z e. ( F ` x ) )
85	61, 84	impbida 560	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> ( z e. ( F ` x ) <-> z e. x ) )
86	85	eqrdv 2079	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ ( x e. A /\ A. y e. x ( F ` y ) = y ) ) -> ( F ` x ) = x )
87	86	expr 367	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( F ` y ) = y -> ( F ` x ) = x ) )
88	16, 87	sylbid 148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) -> ( F ` x ) = x ) )
89	88	ex 113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) -> ( F ` x ) = x ) ) )
90	89	com23 77	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) )
91	90	a2i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) )
92	91	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( x e. On -> ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A. y e. x ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) ) )
93	10, 92	syl5bi 150	. . . . . 6 |- ( x e. On -> ( A. y e. x ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( y e. A -> ( F ` y ) = y ) ) -> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) ) )
94	9, 93	tfis2 4326	. . . . 5 |- ( x e. On -> ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) ) )
95	94	com3l 80	. . . 4 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( x e. On -> ( F ` x ) = x ) ) )
96	3, 95	mpdd 40	. . 3 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) = x ) )
97	96	ralrimiv 2433	. 2 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A. x e. A ( F ` x ) = x )
98		fveq2 5198	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
99		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> x = z )
100	98, 99	eqeq12d 2095	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) = x <-> ( F ` z ) = z ) )
101	100	rspccva 2700	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A ( F ` x ) = x /\ z e. A ) -> ( F ` z ) = z )
102	101	adantll 459	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) = z )
103	23	ffvelrnda 5323	. . . . . . . 8 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. B )
104	103	3ad2antl1 1100	. . . . . . 7 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. B )
105	104	adantlr 460	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. B )
106	102, 105	eqeltrrd 2156	. . . . 5 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) /\ z e. A ) -> z e. B )
107	106	ex 113	. . . 4 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. A -> z e. B ) )
108		simpl1 941	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> F Isom _E , _E ( A , B ) )
109		f1ofo 5153	. . . . . . . . 9 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -onto-> B )
110		forn 5129	. . . . . . . . 9 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
111	17, 109, 110	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( F Isom _E , _E ( A , B ) -> ran F = B )
112	108, 111	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ran F = B )
113	112	eleq2d 2148	. . . . . 6 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. ran F <-> z e. B ) )
114	45	3ad2ant1 959	. . . . . . . 8 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> F Fn A )
115	114	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> F Fn A )
116		fvelrnb 5242	. . . . . . 7 |- ( F Fn A -> ( z e. ran F <-> E. w e. A ( F ` w ) = z ) )
117	115, 116	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. ran F <-> E. w e. A ( F ` w ) = z ) )
118	113, 117	bitr3d 188	. . . . 5 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. B <-> E. w e. A ( F ` w ) = z ) )
119		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
120		id 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> x = w )
121	119, 120	eqeq12d 2095	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( ( F ` x ) = x <-> ( F ` w ) = w ) )
122	121	rspcv 2697	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. A -> ( A. x e. A ( F ` x ) = x -> ( F ` w ) = w ) )
123	122	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( w e. A -> ( A. x e. A ( F ` x ) = x -> ( F ` w ) = w ) ) )
124		simpr 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) -> ( F ` w ) = z )
125		simpl 107	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) -> ( F ` w ) = w )
126	124, 125	eqtr3d 2115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) -> z = w )
127	126	adantl 271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ w e. A ) /\ ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) ) -> z = w )
128		simplr 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ w e. A ) /\ ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) ) -> w e. A )
129	127, 128	eqeltrd 2155	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ w e. A ) /\ ( ( F ` w ) = w /\ ( F ` w ) = z ) ) -> z e. A )
130	129	exp43 364	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( w e. A -> ( ( F ` w ) = w -> ( ( F ` w ) = z -> z e. A ) ) ) )
131	123, 130	syldd 66	. . . . . . . 8 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( w e. A -> ( A. x e. A ( F ` x ) = x -> ( ( F ` w ) = z -> z e. A ) ) ) )
132	131	com23 77	. . . . . . 7 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> ( A. x e. A ( F ` x ) = x -> ( w e. A -> ( ( F ` w ) = z -> z e. A ) ) ) )
133	132	imp 122	. . . . . 6 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( w e. A -> ( ( F ` w ) = z -> z e. A ) ) )
134	133	rexlimdv 2476	. . . . 5 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( E. w e. A ( F ` w ) = z -> z e. A ) )
135	118, 134	sylbid 148	. . . 4 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. B -> z e. A ) )
136	107, 135	impbid 127	. . 3 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> ( z e. A <-> z e. B ) )
137	136	eqrdv 2079	. 2 |- ( ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) /\ A. x e. A ( F ` x ) = x ) -> A = B )
138	97, 137	mpdan 412	1 |- ( ( F Isom _E , _E ( A , B ) /\ Ord A /\ Ord B ) -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   _Vcvv 2601   C_ wss 2973   class class class wbr 3785   _E cep 4042   Ord word 4117   Oncon0 4118   `'ccnv 4362   ran crn 4364   Fn wfn 4917   -->wf 4918   -onto->wfo 4920   -1-1-onto->wf1o 4921   ` cfv 4922   Isom wiso 4923

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-isom 4931

This theorem is referenced by:  ordiso  6447