Theorem ordsoexmid 4305

Description: Weak linearity of ordinals implies the law of the excluded middle (that is, decidability of an arbitrary proposition). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jan-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordsoexmid.1	|- _E Or On

Assertion

Ref	Expression
ordsoexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Proof of Theorem ordsoexmid

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtriexmidlem 4263	. . . . 5 |- { w e. { (/) } | ph } e. On
2	1	elexi 2611	. . . 4 |- { w e. { (/) } | ph } e. _V
3	2	sucid 4172	. . 3 |- { w e. { (/) } | ph } e. suc { w e. { (/) } | ph }
4	1	onsuci 4260	. . . 4 |- suc { w e. { (/) } | ph } e. On
5		suc0 4166	. . . . 5 |- suc (/) = { (/) }
6		0elon 4147	. . . . . 6 |- (/) e. On
7	6	onsuci 4260	. . . . 5 |- suc (/) e. On
8	5, 7	eqeltrri 2152	. . . 4 |- { (/) } e. On
9		eleq1 2141	. . . . . . 7 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. On <-> { w e. { (/) } | ph } e. On ) )
10	9	3anbi1d 1247	. . . . . 6 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) <-> ( { w e. { (/) } | ph } e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) ) )
11		eleq1 2141	. . . . . . 7 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. suc { w e. { (/) } | ph } <-> { w e. { (/) } | ph } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) )
12		eleq1 2141	. . . . . . . 8 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. { (/) } <-> { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } ) )
13	12	orbi1d 737	. . . . . . 7 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) <-> ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) )
14	11, 13	imbi12d 232	. . . . . 6 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) <-> ( { w e. { (/) } | ph } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) ) )
15	10, 14	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( ( ( x e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) ) <-> ( ( { w e. { (/) } | ph } e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( { w e. { (/) } | ph } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) ) ) )
16	4	elexi 2611	. . . . . 6 |- suc { w e. { (/) } | ph } e. _V
17		eleq1 2141	. . . . . . . 8 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( y e. On <-> suc { w e. { (/) } | ph } e. On ) )
18	17	3anbi2d 1248	. . . . . . 7 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On ) <-> ( x e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) ) )
19		eleq2 2142	. . . . . . . 8 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. y <-> x e. suc { w e. { (/) } | ph } ) )
20		eleq2 2142	. . . . . . . . 9 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( { (/) } e. y <-> { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) )
21	20	orbi2d 736	. . . . . . . 8 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) <-> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) )
22	19, 21	imbi12d 232	. . . . . . 7 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. y -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) ) <-> ( x e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) ) )
23	18, 22	imbi12d 232	. . . . . 6 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( ( ( x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x e. y -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) ) ) <-> ( ( x e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) ) ) )
24		p0ex 3959	. . . . . . 7 |- { (/) } e. _V
25		eleq1 2141	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( z e. On <-> { (/) } e. On ) )
26	25	3anbi3d 1249	. . . . . . . 8 |- ( z = { (/) } -> ( ( x e. On /\ y e. On /\ z e. On ) <-> ( x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On ) ) )
27		eleq2 2142	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> ( x e. z <-> x e. { (/) } ) )
28		eleq1 2141	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> ( z e. y <-> { (/) } e. y ) )
29	27, 28	orbi12d 739	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( ( x e. z \/ z e. y ) <-> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) ) )
30	29	imbi2d 228	. . . . . . . 8 |- ( z = { (/) } -> ( ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) ) <-> ( x e. y -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) ) ) )
31	26, 30	imbi12d 232	. . . . . . 7 |- ( z = { (/) } -> ( ( ( x e. On /\ y e. On /\ z e. On ) -> ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) ) ) <-> ( ( x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x e. y -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) ) ) ) )
32		ordsoexmid.1	. . . . . . . . . . 11 |- _E Or On
33		df-iso 4052	. . . . . . . . . . 11 |- ( _E Or On <-> ( _E Po On /\ A. x e. On A. y e. On A. z e. On ( x _E y -> ( x _E z \/ z _E y ) ) ) )
34	32, 33	mpbi 143	. . . . . . . . . 10 |- ( _E Po On /\ A. x e. On A. y e. On A. z e. On ( x _E y -> ( x _E z \/ z _E y ) ) )
35	34	simpri 111	. . . . . . . . 9 |- A. x e. On A. y e. On A. z e. On ( x _E y -> ( x _E z \/ z _E y ) )
36		epel 4047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x _E y <-> x e. y )
37		epel 4047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x _E z <-> x e. z )
38		epel 4047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z _E y <-> z e. y )
39	37, 38	orbi12i 713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x _E z \/ z _E y ) <-> ( x e. z \/ z e. y ) )
40	36, 39	imbi12i 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x _E y -> ( x _E z \/ z _E y ) ) <-> ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) ) )
41	40	2ralbii 2374	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. On A. z e. On ( x _E y -> ( x _E z \/ z _E y ) ) <-> A. y e. On A. z e. On ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) ) )
42	41	ralbii 2372	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. On A. y e. On A. z e. On ( x _E y -> ( x _E z \/ z _E y ) ) <-> A. x e. On A. y e. On A. z e. On ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) ) )
43	35, 42	mpbi 143	. . . . . . . 8 |- A. x e. On A. y e. On A. z e. On ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) )
44	43	rspec3 2451	. . . . . . 7 |- ( ( x e. On /\ y e. On /\ z e. On ) -> ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) ) )
45	24, 31, 44	vtocl 2653	. . . . . 6 |- ( ( x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x e. y -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) ) )
46	16, 23, 45	vtocl 2653	. . . . 5 |- ( ( x e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) )
47	2, 15, 46	vtocl 2653	. . . 4 |- ( ( { w e. { (/) } | ph } e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( { w e. { (/) } | ph } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) )
48	1, 4, 8, 47	mp3an 1268	. . 3 |- ( { w e. { (/) } | ph } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) )
49	2	elsn 3414	. . . . 5 |- ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } <-> { w e. { (/) } | ph } = (/) )
50		ordtriexmidlem2 4264	. . . . 5 |- ( { w e. { (/) } | ph } = (/) -> -. ph )
51	49, 50	sylbi 119	. . . 4 |- ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } -> -. ph )
52		elirr 4284	. . . . . . 7 |- -. { (/) } e. { (/) }
53		elrabi 2746	. . . . . . 7 |- ( { (/) } e. { w e. { (/) } | ph } -> { (/) } e. { (/) } )
54	52, 53	mto 620	. . . . . 6 |- -. { (/) } e. { w e. { (/) } | ph }
55		elsuci 4158	. . . . . . 7 |- ( { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( { (/) } e. { w e. { (/) } | ph } \/ { (/) } = { w e. { (/) } | ph } ) )
56	55	ord 675	. . . . . 6 |- ( { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( -. { (/) } e. { w e. { (/) } | ph } -> { (/) } = { w e. { (/) } | ph } ) )
57	54, 56	mpi 15	. . . . 5 |- ( { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> { (/) } = { w e. { (/) } | ph } )
58		0ex 3905	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
59		biidd 170	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ph <-> ph ) )
60	58, 59	rabsnt 3467	. . . . . 6 |- ( { w e. { (/) } | ph } = { (/) } -> ph )
61	60	eqcoms 2084	. . . . 5 |- ( { (/) } = { w e. { (/) } | ph } -> ph )
62	57, 61	syl 14	. . . 4 |- ( { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ph )
63	51, 62	orim12i 708	. . 3 |- ( ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
64	3, 48, 63	mp2b 8	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
65		orcom 679	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
66	64, 65	mpbi 143	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 661   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   {crab 2352   (/)c0 3251   {csn 3398   class class class wbr 3785   _E cep 4042   Po wpo 4049   Or wor 4050   Oncon0 4118   suc csuc 4120

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126

This theorem is referenced by: (None)