ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqrt2irraplemnn Unicode version

Theorem sqrt2irraplemnn 10557
Description: Lemma for sqrt2irrap 10558. The square root of 2 is apart from a positive rational expressed as a numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqrt2irraplemnn  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  2
) #  ( A  /  B ) )

Proof of Theorem sqrt2irraplemnn
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  NN )
21nnsqcld 9626 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  NN )
32nnred 8052 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
4 0red 7120 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
52nngt0d 8082 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  ( A ^ 2 ) )
64, 3, 5ltled 7228 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  ( A ^ 2 ) )
7 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  NN )
87nnsqcld 9626 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  NN )
98nnrpd 8772 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR+ )
103, 6, 9sqrtdivd 10054 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  /  ( sqr `  ( B ^ 2 ) ) ) )
111nnred 8052 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
121nngt0d 8082 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  A )
134, 11, 12ltled 7228 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  A )
1411, 13sqrtsqd 10051 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  =  A )
157nnred 8052 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
167nngt0d 8082 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  B )
174, 15, 16ltled 7228 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  B )
1815, 17sqrtsqd 10051 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( B ^ 2 ) )  =  B )
1914, 18oveq12d 5550 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  /  ( sqr `  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( A  /  B ) )
2010, 19eqtrd 2113 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( A  /  B ) )
21 sqne2sq 10555 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  =/=  ( 2  x.  ( B ^
2 ) ) )
222nncnd 8053 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
23 2cnd 8112 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
248nncnd 8053 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
258nnap0d 8084 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 ) #  0 )
2622, 23, 24, 25divmulap3d 7911 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) )  =  2  <-> 
( A ^ 2 )  =  ( 2  x.  ( B ^
2 ) ) ) )
2726necon3bid 2286 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) )  =/=  2  <->  ( A ^ 2 )  =/=  ( 2  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
2821, 27mpbird 165 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  =/=  2 )
292nnzd 8468 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
30 znq 8709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( B ^ 2 )  e.  NN )  -> 
( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  e.  QQ )
3129, 8, 30syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  e.  QQ )
32 2z 8379 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
33 zq 8711 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  QQ )
3432, 33mp1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  2  e.  QQ )
35 qapne 8724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  e.  QQ  /\  2  e.  QQ )  ->  (
( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) ) #  2  <->  ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) )  =/=  2
) )
3631, 34, 35syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) ) #  2  <->  (
( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) )  =/=  2 ) )
3728, 36mpbird 165 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) ) #  2 )
38 qre 8710 . . . . . 6  |-  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) )  e.  QQ  ->  (
( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) )  e.  RR )
3931, 38syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  e.  RR )
408nnred 8052 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
418nngt0d 8082 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  ( B ^ 2 ) )
423, 40, 5, 41divgt0d 8013 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  ( ( A ^ 2 )  /  ( B ^
2 ) ) )
434, 39, 42ltled 7228 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) ) )
44 2re 8109 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
4544a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
46 0le2 8129 . . . . . 6  |-  0  <_  2
4746a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  2 )
48 sqrt11ap 9924 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  2 )  <-> 
( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) ) #  2 ) )
4939, 43, 45, 47, 48syl22anc 1170 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  2
)  <->  ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) ) #  2 ) )
5037, 49mpbird 165 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  2
) )
5120, 50eqbrtrrd 3807 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
) #  ( sqr `  2
) )
52 nnz 8370 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
53 znq 8709 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  QQ )
5452, 53sylan 277 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  QQ )
55 qcn 8719 . . . 4  |-  ( ( A  /  B )  e.  QQ  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
5654, 55syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  CC )
57 sqrt2re 10542 . . . . 5  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
5857recni 7131 . . . 4  |-  ( sqr `  2 )  e.  CC
5958a1i 9 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  2
)  e.  CC )
60 apsym 7706 . . 3  |-  ( ( ( A  /  B
)  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  e.  CC )  -> 
( ( A  /  B ) #  ( sqr `  2 )  <->  ( sqr `  2 ) #  ( A  /  B ) ) )
6156, 59, 60syl2anc 403 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  /  B ) #  ( sqr `  2 )  <->  ( sqr `  2 ) #  ( A  /  B ) ) )
6251, 61mpbid 145 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  2
) #  ( A  /  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1433    =/= wne 2245   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981    x. cmul 6986    <_ cle 7154   # cap 7681    / cdiv 7760   NNcn 8039   2c2 8089   ZZcz 8351   QQcq 8704   ^cexp 9475   sqrcsqrt 9882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-xor 1307  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-1o 6024  df-2o 6025  df-er 6129  df-en 6245  df-sup 6397  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fz 9030  df-fzo 9153  df-fl 9274  df-mod 9325  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196  df-gcd 10339  df-prm 10490
This theorem is referenced by:  sqrt2irrap  10558
  Copyright terms: Public domain W3C validator