Theorem addnqprulem 6718

Description: Lemma to prove upward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addnqprulem	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))

Proof of Theorem addnqprulem

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 108	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑆 <Q 𝑋)
2		ltrnqi 6611	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 <Q 𝑋 → (*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆))
3		simplr 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑋 ∈ Q)
4		recclnq 6582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (*Q‘𝑋) ∈ Q)
6		ltrelnq 6555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 4410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 <Q 𝑋 → (𝑆 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q))
8	7	adantl 271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑆 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q))
9	8	simpld 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝑆 ∈ Q)
10		recclnq 6582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Q → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (*Q‘𝑆) ∈ Q)
12		ltmnqg 6591	. . . . . . . 8 ⊢ (((*Q‘𝑋) ∈ Q ∧ (*Q‘𝑆) ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆))))
13	5, 11, 3, 12	syl3anc 1169	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆) ↔ (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆))))
14		ltmnqg 6591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
15	14	adantl 271	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q)) → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
16		mulclnq 6566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑋) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
17	3, 5, 16	syl2anc 403	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ∈ Q)
18		mulclnq 6566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑆) ∈ Q) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
19	3, 11, 18	syl2anc 403	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ∈ Q)
20		elprnqu 6672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → 𝐺 ∈ Q)
21	20	ad2antrr 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝐺 ∈ Q)
22		mulcomnqg 6573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
23	22	adantl 271	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦))
24	15, 17, 19, 21, 23	caovord2d 5690	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) <Q (𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
25	13, 24	bitrd 186	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((*Q‘𝑋) <Q (*Q‘𝑆) ↔ ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
26	2, 25	syl5ib 152	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
27	1, 26	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺))
28		recidnq 6583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ Q → (𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) = 1Q)
29	28	oveq1d 5547	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ Q → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = (1Q ·Q 𝐺))
30		1nq 6556	. . . . . . . . 9 ⊢ 1Q ∈ Q
31		mulcomnqg 6573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1Q ∈ Q ∧ 𝐺 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
32	30, 31	mpan 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = (𝐺 ·Q 1Q))
33		mulidnq 6579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (𝐺 ·Q 1Q) = 𝐺)
34	32, 33	eqtrd 2113	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Q → (1Q ·Q 𝐺) = 𝐺)
35	29, 34	sylan9eqr 2135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) = 𝐺)
36	35	breq1d 3795	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ↔ 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
37	21, 3, 36	syl2anc 403	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (((𝑋 ·Q (*Q‘𝑋)) ·Q 𝐺) <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ↔ 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺)))
38	27, 37	mpbid 145	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → 𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺))
39		prcunqu 6675	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))
40	39	ad2antrr 471	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → (𝐺 <Q ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))
41	38, 40	mpd 13	. 2 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) ∧ 𝑆 <Q 𝑋) → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈)
42	41	ex 113	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑆 <Q 𝑋 → ((𝑋 ·Q (*Q‘𝑆)) ·Q 𝐺) ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ⟨cop 3401   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  Qcnq 6470  1_Qc1q 6471   ·_Q cmq 6473  *_Qcrq 6474   <_Q cltq 6475  Pcnp 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-mi 6496  df-lti 6497  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541  df-rq 6542  df-ltnqqs 6543  df-inp 6656

This theorem is referenced by:  addnqpru  6720