Theorem mulidnq 6579

Description: Multiplication identity element for positive fractions. (Contributed by NM, 3-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
mulidnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ·Q 1Q) = 𝐴)

Proof of Theorem mulidnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 6538	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		oveq1 5539	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = (𝐴 ·Q 1Q))
3		id 19	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴)
4	2, 3	eqeq12d 2095	. 2 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·Q 1Q) = 𝐴))
5		df-1nqqs 6541	. . . . 5 ⊢ 1Q = [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q
6	5	oveq2i 5543	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q )
7		1pi 6505	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ N
8		mulpipqqs 6563	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (1𝑜 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 1𝑜), (𝑦 ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
9	7, 7, 8	mpanr12 429	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 1𝑜), (𝑦 ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
10	6, 9	syl5eq 2125	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = [⟨(𝑥 ·N 1𝑜), (𝑦 ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
11		mulcompig 6521	. . . . . . 7 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (1𝑜 ·N 𝑥) = (𝑥 ·N 1𝑜))
12	7, 11	mpan 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ N → (1𝑜 ·N 𝑥) = (𝑥 ·N 1𝑜))
13	12	adantr 270	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (1𝑜 ·N 𝑥) = (𝑥 ·N 1𝑜))
14		mulcompig 6521	. . . . . . 7 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (1𝑜 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 1𝑜))
15	7, 14	mpan 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ N → (1𝑜 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 1𝑜))
16	15	adantl 271	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (1𝑜 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 1𝑜))
17	13, 16	opeq12d 3578	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → ⟨(1𝑜 ·N 𝑥), (1𝑜 ·N 𝑦)⟩ = ⟨(𝑥 ·N 1𝑜), (𝑦 ·N 1𝑜)⟩)
18	17	eceq1d 6165	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → [⟨(1𝑜 ·N 𝑥), (1𝑜 ·N 𝑦)⟩] ~Q = [⟨(𝑥 ·N 1𝑜), (𝑦 ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
19		mulcanenqec 6576	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → [⟨(1𝑜 ·N 𝑥), (1𝑜 ·N 𝑦)⟩] ~Q = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q )
20	7, 19	mp3an1 1255	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → [⟨(1𝑜 ·N 𝑥), (1𝑜 ·N 𝑦)⟩] ~Q = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q )
21	10, 18, 20	3eqtr2d 2119	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q 1Q) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q )
22	1, 4, 21	ecoptocl 6216	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ·Q 1Q) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ⟨cop 3401  (class class class)co 5532  1_𝑜c1o 6017  [cec 6127  Ncnpi 6462   ·_N cmi 6464   ~_Q ceq 6469  Qcnq 6470  1_Qc1q 6471   ·_Q cmq 6473

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-mi 6496  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541

This theorem is referenced by:  recmulnqg  6581  rec1nq  6585  ltaddnq  6597  halfnqq  6600  prarloclemarch  6608  ltrnqg  6610  addnqprllem  6717  addnqprulem  6718  addnqprl  6719  addnqpru  6720  appdivnq  6753  prmuloc2  6757  mulnqprl  6758  mulnqpru  6759  1idprl  6780  1idpru  6781  recexprlem1ssl  6823  recexprlem1ssu  6824