Theorem ltrelnq 6555

Description: Positive fraction 'less than' is a relation on positive fractions. (Contributed by NM, 14-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltrelnq	⊢ <Q ⊆ (Q × Q)

Proof of Theorem ltrelnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ltnqqs 6543	. 2 ⊢ <Q = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝑦 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣)))}
2		opabssxp 4432	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝑦 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣)))} ⊆ (Q × Q)
3	1, 2	eqsstri 3029	1 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)

Syntax hints:   ∧ wa 102   = wceq 1284  ∃wex 1421   ∈ wcel 1433   ⊆ wss 2973  ⟨cop 3401   class class class wbr 3785  {copab 3838   × cxp 4361  (class class class)co 5532  [cec 6127   ·_N cmi 6464   <_N clti 6465   ~_Q ceq 6469  Qcnq 6470   <_Q cltq 6475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-in 2979  df-ss 2986  df-opab 3840  df-xp 4369  df-ltnqqs 6543

This theorem is referenced by:  ltanqi  6592  ltmnqi  6593  lt2addnq  6594  lt2mulnq  6595  ltexnqi  6599  ltbtwnnqq  6605  ltbtwnnq  6606  prarloclemarch2  6609  ltrnqi  6611  prcdnql  6674  prcunqu  6675  prnmaxl  6678  prnminu  6679  prloc  6681  prarloclemcalc  6692  genplt2i  6700  genpcdl  6709  genpcuu  6710  genpdisj  6713  addnqprllem  6717  addnqprulem  6718  addlocprlemlt  6721  addlocprlemeq  6723  addlocprlemgt  6724  addlocprlem  6725  nqprdisj  6734  nqprloc  6735  nqprxx  6736  ltnqex  6739  gtnqex  6740  addnqprlemrl  6747  addnqprlemru  6748  addnqprlemfl  6749  addnqprlemfu  6750  appdivnq  6753  prmuloclemcalc  6755  prmuloc  6756  mulnqprlemrl  6763  mulnqprlemru  6764  mulnqprlemfl  6765  mulnqprlemfu  6766  1idprl  6780  1idpru  6781  ltnqpri  6784  ltsopr  6786  ltexprlemopl  6791  ltexprlemopu  6793  ltexprlemdisj  6796  ltexprlemloc  6797  ltexprlemfl  6799  ltexprlemru  6802  recexprlemell  6812  recexprlemelu  6813  recexprlemlol  6816  recexprlemupu  6818  recexprlemdisj  6820  recexprlemloc  6821  recexprlempr  6822  recexprlem1ssl  6823  recexprlem1ssu  6824  recexprlemss1l  6825  recexprlemss1u  6826  cauappcvgprlemm  6835  cauappcvgprlemopl  6836  cauappcvgprlemlol  6837  cauappcvgprlemupu  6839  cauappcvgprlemladdfu  6844  cauappcvgprlemladdfl  6845  caucvgprlemk  6855  caucvgprlemnkj  6856  caucvgprlemnbj  6857  caucvgprlemm  6858  caucvgprlemopl  6859  caucvgprlemlol  6860  caucvgprlemupu  6862  caucvgprlemloc  6865  caucvgprlemladdfu  6867  caucvgprprlemloccalc  6874  caucvgprprlemml  6884  caucvgprprlemopl  6887  caucvgprprlemlol  6888  caucvgprprlemupu  6890  caucvgprprlemloc  6893