Theorem caofinvl 5753

Description: Transfer a left inverse law to the function operation. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caofref.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
caofref.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
caofinv.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
caofinv.4	⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑆⟶𝑆)
caofinv.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))))
caofinvl.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑁‘𝑥)𝑅𝑥) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
caofinvl	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 𝑅𝐹) = (𝐴 × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑣,𝐴   𝑣,𝐹,𝑥   𝑥,𝑁,𝑣   𝑣,𝑆   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑣)   𝑅(𝑣)   𝐺(𝑣)   𝑉(𝑥,𝑣)   𝑊(𝑥,𝑣)

Proof of Theorem caofinvl

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caofref.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		caofinv.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑆⟶𝑆)
3	2	adantr 270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑁:𝑆⟶𝑆)
4		caofref.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
5	4	ffvelrnda 5323	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆)
6	3, 5	ffvelrnd 5324	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑁‘(𝐹‘𝑣)) ∈ 𝑆)
7		eqid 2081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))) = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣)))
8	6, 7	fmptd 5343	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))):𝐴⟶𝑆)
9		caofinv.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))))
10	9	feq1d 5054	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐴⟶𝑆 ↔ (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))):𝐴⟶𝑆))
11	8, 10	mpbird 165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝑆)
12	11	ffvelrnda 5323	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑤) ∈ 𝑆)
13	4	ffvelrnda 5323	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝑆)
14	6	ralrimiva 2434	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝐹‘𝑣)) ∈ 𝑆)
15	7	fnmpt 5045	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝐹‘𝑣)) ∈ 𝑆 → (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))) Fn 𝐴)
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))) Fn 𝐴)
17	9	fneq1d 5009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Fn 𝐴 ↔ (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))) Fn 𝐴))
18	16, 17	mpbird 165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
19		dffn5im 5240	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn 𝐴 → 𝐺 = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑤)))
20	18, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑤)))
21	4	feqmptd 5247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑤)))
22	1, 12, 13, 20, 21	offval2 5746	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 𝑅𝐹) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐺‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤))))
23	9	fveq1d 5200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑤) = ((𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣)))‘𝑤))
24	23	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑤) = ((𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣)))‘𝑤))
25		simpr 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ 𝐴)
26	2	adantr 270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑁:𝑆⟶𝑆)
27	26, 13	ffvelrnd 5324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑁‘(𝐹‘𝑤)) ∈ 𝑆)
28		fveq2 5198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑤))
29	28	fveq2d 5202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝑁‘(𝐹‘𝑣)) = (𝑁‘(𝐹‘𝑤)))
30	29, 7	fvmptg 5269	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(𝐹‘𝑤)) ∈ 𝑆) → ((𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣)))‘𝑤) = (𝑁‘(𝐹‘𝑤)))
31	25, 27, 30	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣)))‘𝑤) = (𝑁‘(𝐹‘𝑤)))
32	24, 31	eqtrd 2113	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑤) = (𝑁‘(𝐹‘𝑤)))
33	32	oveq1d 5547	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤)) = ((𝑁‘(𝐹‘𝑤))𝑅(𝐹‘𝑤)))
34		caofinvl.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑁‘𝑥)𝑅𝑥) = 𝐵)
35	34	ralrimiva 2434	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑁‘𝑥)𝑅𝑥) = 𝐵)
36	35	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑁‘𝑥)𝑅𝑥) = 𝐵)
37		fveq2 5198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑤) → (𝑁‘𝑥) = (𝑁‘(𝐹‘𝑤)))
38		id 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑤) → 𝑥 = (𝐹‘𝑤))
39	37, 38	oveq12d 5550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑤) → ((𝑁‘𝑥)𝑅𝑥) = ((𝑁‘(𝐹‘𝑤))𝑅(𝐹‘𝑤)))
40	39	eqeq1d 2089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑤) → (((𝑁‘𝑥)𝑅𝑥) = 𝐵 ↔ ((𝑁‘(𝐹‘𝑤))𝑅(𝐹‘𝑤)) = 𝐵))
41	40	rspcva 2699	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑤) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑁‘𝑥)𝑅𝑥) = 𝐵) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑤))𝑅(𝐹‘𝑤)) = 𝐵)
42	13, 36, 41	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑤))𝑅(𝐹‘𝑤)) = 𝐵)
43	33, 42	eqtrd 2113	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤)) = 𝐵)
44	43	mpteq2dva 3868	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐺‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
45	22, 44	eqtrd 2113	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 𝑅𝐹) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
46		fconstmpt 4405	. 2 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
47	45, 46	syl6eqr 2131	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 𝑅𝐹) = (𝐴 × {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348  {csn 3398   ↦ cmpt 3839   × cxp 4361   Fn wfn 4917  ⟶wf 4918  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532   ∘_𝑓 cof 5730

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-of 5732

This theorem is referenced by: (None)