Theorem ffvelrnd 5324

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ffvelrnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
ffvelrnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ffvelrnd	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
2		ffvelrnd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3	2	ffvelrnda 5323	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
4	1, 3	mpdan 412	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1433  ⟶wf 4918  ‘cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930

This theorem is referenced by:  isotr  5476  caofinvl  5753  phplem4dom  6348  fidceq  6354  dif1en  6364  fin0  6369  fin0or  6370  en2eqpr  6380  supisoti  6423  ordiso2  6446  cauappcvgprlemm  6835  cauappcvgprlemdisj  6841  cauappcvgprlemloc  6842  cauappcvgprlemladdfu  6844  cauappcvgprlemladdru  6846  cauappcvgprlemladdrl  6847  cauappcvgprlem1  6849  cauappcvgprlem2  6850  caucvgprlemnkj  6856  caucvgprlemnbj  6857  caucvgprlemm  6858  caucvgprlemloc  6865  caucvgprlemladdfu  6867  caucvgprlemladdrl  6868  caucvgprlem1  6869  caucvgprlem2  6870  caucvgprprlemnkltj  6879  caucvgprprlemnkeqj  6880  caucvgprprlemnbj  6883  caucvgprprlemmu  6885  caucvgprprlemopl  6887  caucvgprprlemloc  6893  caucvgprprlemexbt  6896  caucvgprprlemexb  6897  caucvgprprlemaddq  6898  caucvgprprlem1  6899  caucvgprprlem2  6900  caucvgsrlemcau  6969  caucvgsrlemgt1  6971  caucvgsrlemoffcau  6974  caucvgsrlemoffres  6976  caucvgsr  6978  axcaucvglemval  7063  axcaucvglemcau  7064  axcaucvglemres  7065  fseq1p1m1  9111  4fvwrd4  9150  fvinim0ffz  9250  caucvgrelemcau  9866  caucvgre  9867  cvg1nlemf  9869  cvg1nlemcau  9870  cvg1nlemres  9871  recvguniqlem  9880  resqrexlemdecn  9898  resqrexlemcalc3  9902  resqrexlemnmsq  9903  resqrexlemnm  9904  resqrexlemcvg  9905  resqrexlemoverl  9907  resqrexlemglsq  9908  resqrexlemga  9909  clim2iser  10175  clim2iser2  10176  climrecvg1n  10185  climcvg1nlem  10186  serif0  10189  nn0seqcvgd  10423  ialgrlem1st  10424