Theorem elnn1uz2 8694

Description: A positive integer is either 1 or greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
elnn1uz2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))

Proof of Theorem elnn1uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 664	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ))
2		nnz 8370	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1z 8377	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zdceq 8423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 1)
5	3, 4	mpan2 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 1)
6		df-dc 776	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑁 = 1 ↔ (𝑁 = 1 ∨ ¬ 𝑁 = 1))
7	5, 6	sylib 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ ¬ 𝑁 = 1))
8		df-ne 2246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑁 = 1)
9	8	orbi2i 711	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 1 ∨ ¬ 𝑁 = 1))
10	7, 9	sylibr 132	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1))
11	2, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1))
12		ordi 762	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1)) ↔ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1)))
13	1, 11, 12	sylanbrc 408	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1)))
14		eluz2b3 8691	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
15	14	orbi2i 711	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ↔ (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1)))
16	13, 15	sylibr 132	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
17		1nn 8050	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
18		eleq1 2141	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
19	17, 18	mpbiri 166	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 ∈ ℕ)
20		eluz2nn 8657	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
21	19, 20	jaoi 668	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
22	16, 21	impbii 124	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 661  DECID wdc 775   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   ≠ wne 2245  ‘cfv 4922  1c1 6982  ℕcn 8039  2c2 8089  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by:  indstr2  8696