Theorem enm 6317

Description: A set equinumerous to an inhabited set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
enm	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem enm

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6251	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)
2		f1of 5146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
3		ffvelrn 5321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
4		elex2 2615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
6	5	ex 113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
7	2, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
8	7	exlimiv 1529	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
9	1, 8	sylbi 119	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
10	9	com12 30	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
11	10	exlimiv 1529	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
12	11	impcom 123	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102  ∃wex 1421   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  ⟶wf 4918  –1-1-onto→wf1o 4921  ‘cfv 4922   ≈ cen 6242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-en 6245

This theorem is referenced by:  ssfilem  6360  diffitest  6371