Theorem ssfilem 6360

Description: Lemma for ssfiexmid 6361. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssfilem.1	⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin

Assertion

Ref	Expression
ssfilem	⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Distinct variable group:   𝜑,𝑧

Proof of Theorem ssfilem

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfilem.1	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin
2		isfi 6264	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛)
3	1, 2	mpbi 143	. 2 ⊢ ∃𝑛 ∈ ω {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛
4		0elnn 4358	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑛 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑛))
5		breq2 3789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = ∅ → ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ ∅))
6		en0 6298	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ ∅ ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅)
7	5, 6	syl6bb 194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ∅ → ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅))
8	7	biimpac 292	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 = ∅) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅)
9		rabeq0 3274	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ {∅} ¬ 𝜑)
10		0ex 3905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	snm 3510	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃𝑤 𝑤 ∈ {∅}
12		r19.3rmv 3332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ {∅} → (¬ 𝜑 ↔ ∀𝑧 ∈ {∅} ¬ 𝜑))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝜑 ↔ ∀𝑧 ∈ {∅} ¬ 𝜑)
14	9, 13	bitr4i 185	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ¬ 𝜑)
15	8, 14	sylib 120	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 = ∅) → ¬ 𝜑)
16	15	olcd 685	. . . . . 6 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 = ∅) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
17		ensym 6284	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 → 𝑛 ≈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑})
18		elex2 2615	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ 𝑛 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑛)
19		enm 6317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ≈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑛) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑})
20	17, 18, 19	syl2an 283	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ ∅ ∈ 𝑛) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑})
21		biidd 170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜑))
22	21	elrab 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ↔ (𝑦 ∈ {∅} ∧ 𝜑))
23	22	simprbi 269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → 𝜑)
24	23	orcd 684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
25	24	exlimiv 1529	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
26	20, 25	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ ∅ ∈ 𝑛) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
27	16, 26	jaodan 743	. . . . 5 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ (𝑛 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑛)) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
28	4, 27	sylan2 280	. . . 4 ⊢ (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
29	28	ancoms 264	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
30	29	rexlimiva 2472	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ω {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
31	3, 30	ax-mp 7	1 ⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 661   = wceq 1284  ∃wex 1421   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348  ∃wrex 2349  {crab 2352  ∅c0 3251  {csn 3398   class class class wbr 3785  ωcom 4331   ≈ cen 6242  Fincfn 6244

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-er 6129  df-en 6245  df-fin 6247

This theorem is referenced by:  ssfiexmid  6361  domfiexmid  6363