Theorem iser0f 9472

Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
iser0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
iser0f	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) = (𝑍 × {0}))

Proof of Theorem iser0f

Dummy variables 𝑘 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iser0.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	iser0 9471	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = 0)
3		c0ex 7113	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fvconst2 5398	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
5	2, 4	eqtr4d 2116	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘))
6	5	rgen 2416	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)
7		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
8		cnex 7097	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
9	8	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ℂ ∈ V)
10	1	eleq2i 2145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		0cnd 7112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 0 ∈ ℂ)
12	4, 11	eqeltrd 2155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
13	10, 12	sylbir 133	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	adantl 271	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
15		addcl 7098	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℂ)
16	15	adantl 271	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℂ)
17	7, 9, 14, 16	iseqfn 9441	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn (ℤ≥‘𝑀))
18	1	fneq2i 5014	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn (ℤ≥‘𝑀))
19	17, 18	sylibr 132	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn 𝑍)
20	3	fconst 5102	. . . 4 ⊢ (𝑍 × {0}):𝑍⟶{0}
21		ffn 5066	. . . 4 ⊢ ((𝑍 × {0}):𝑍⟶{0} → (𝑍 × {0}) Fn 𝑍)
22	20, 21	ax-mp 7	. . 3 ⊢ (𝑍 × {0}) Fn 𝑍
23		eqfnfv 5286	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn 𝑍 ∧ (𝑍 × {0}) Fn 𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
24	19, 22, 23	sylancl 404	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
25	6, 24	mpbiri 166	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) = (𝑍 × {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348  Vcvv 2601  {csn 3398   × cxp 4361   Fn wfn 4917  ⟶wf 4918  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  0cc0 6981   + caddc 6984  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619  seqcseq 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030  df-fzo 9153  df-iseq 9432

This theorem is referenced by:  iserclim0  10144