Theorem mulcomnq0 6650

Description: Multiplication of non-negative fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcomnq0	⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) = (𝐵 ·Q0 𝐴))

Proof of Theorem mulcomnq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 6615	. 2 ⊢ Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2		oveq1 5539	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
3		oveq2 5540	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴))
4	2, 3	eqeq12d 2095	. 2 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) ↔ (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴)))
5		oveq2 5540	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 𝐵))
6		oveq1 5539	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐵 ·Q0 𝐴))
7	5, 6	eqeq12d 2095	. 2 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) ↔ (𝐴 ·Q0 𝐵) = (𝐵 ·Q0 𝐴)))
8		nnmcom 6091	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑥 ·𝑜 𝑧) = (𝑧 ·𝑜 𝑥))
9	8	ad2ant2r 492	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑥 ·𝑜 𝑧) = (𝑧 ·𝑜 𝑥))
10		pinn 6499	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ N → 𝑦 ∈ ω)
11		pinn 6499	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
12		nnmcom 6091	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑦 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 𝑦))
13	10, 11, 12	syl2an 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 𝑦))
14	13	ad2ant2l 491	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 𝑦))
15		opeq12 3572	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·𝑜 𝑧) = (𝑧 ·𝑜 𝑥) ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 𝑦)) → ⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩ = ⟨(𝑧 ·𝑜 𝑥), (𝑤 ·𝑜 𝑦)⟩)
16	15	eceq1d 6165	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ·𝑜 𝑧) = (𝑧 ·𝑜 𝑥) ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 𝑦)) → [⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 ·𝑜 𝑥), (𝑤 ·𝑜 𝑦)⟩] ~Q0 )
17	9, 14, 16	syl2anc 403	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → [⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 ·𝑜 𝑥), (𝑤 ·𝑜 𝑦)⟩] ~Q0 )
18		mulnnnq0 6640	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
19		mulnnnq0 6640	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑧 ·𝑜 𝑥), (𝑤 ·𝑜 𝑦)⟩] ~Q0 )
20	19	ancoms 264	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑧 ·𝑜 𝑥), (𝑤 ·𝑜 𝑦)⟩] ~Q0 )
21	17, 18, 20	3eqtr4d 2123	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ))
22	1, 4, 7, 21	2ecoptocl 6217	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) = (𝐵 ·Q0 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ⟨cop 3401  ωcom 4331  (class class class)co 5532   ·_𝑜 comu 6022  [cec 6127  Ncnpi 6462   ~_Q0 ceq0 6476  Q₀cnq0 6477   ·_Q0 cmq0 6480

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-mi 6496  df-enq0 6614  df-nq0 6615  df-mq0 6618

This theorem is referenced by:  distnq0r  6653