Theorem addassnq0lemcl 6651

Description: A natural number closure law. Lemma for addassnq0 6652. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassnq0lemcl	⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (((𝐼 ·𝑜 𝐿) +𝑜 (𝐽 ·𝑜 𝐾)) ∈ ω ∧ (𝐽 ·𝑜 𝐿) ∈ N))

Proof of Theorem addassnq0lemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 6499	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ N → 𝐿 ∈ ω)
2		nnmcl 6083	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω) → (𝐼 ·𝑜 𝐿) ∈ ω)
3	1, 2	sylan2 280	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐼 ·𝑜 𝐿) ∈ ω)
4	3	ad2ant2rl 494	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (𝐼 ·𝑜 𝐿) ∈ ω)
5		pinn 6499	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ N → 𝐽 ∈ ω)
6		nnmcl 6083	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ω ∧ 𝐾 ∈ ω) → (𝐽 ·𝑜 𝐾) ∈ ω)
7	5, 6	sylan 277	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ ω) → (𝐽 ·𝑜 𝐾) ∈ ω)
8	7	ad2ant2lr 493	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (𝐽 ·𝑜 𝐾) ∈ ω)
9		nnacl 6082	. . 3 ⊢ (((𝐼 ·𝑜 𝐿) ∈ ω ∧ (𝐽 ·𝑜 𝐾) ∈ ω) → ((𝐼 ·𝑜 𝐿) +𝑜 (𝐽 ·𝑜 𝐾)) ∈ ω)
10	4, 8, 9	syl2anc 403	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → ((𝐼 ·𝑜 𝐿) +𝑜 (𝐽 ·𝑜 𝐾)) ∈ ω)
11		mulpiord 6507	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐽 ·N 𝐿) = (𝐽 ·𝑜 𝐿))
12		mulclpi 6518	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐽 ·N 𝐿) ∈ N)
13	11, 12	eqeltrrd 2156	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐽 ·𝑜 𝐿) ∈ N)
14	13	ad2ant2l 491	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (𝐽 ·𝑜 𝐿) ∈ N)
15	10, 14	jca 300	1 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (((𝐼 ·𝑜 𝐿) +𝑜 (𝐽 ·𝑜 𝐾)) ∈ ω ∧ (𝐽 ·𝑜 𝐿) ∈ N))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1433  ωcom 4331  (class class class)co 5532   +_𝑜 coa 6021   ·_𝑜 comu 6022  Ncnpi 6462   ·_N cmi 6464

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-ni 6494  df-mi 6496

This theorem is referenced by:  addassnq0  6652