Theorem opeq12 3572

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opeq12	⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3570	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)
2		opeq2 3571	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → ⟨𝐶, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
3	1, 2	sylan9eq 2133	1 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284  ⟨cop 3401

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407

This theorem is referenced by:  opeq12i  3575  opeq12d  3578  cbvopab  3849  opth  3992  copsex2t  4000  copsex2g  4001  relop  4504  funopg  4954  fsn  5356  fnressn  5370  cbvoprab12  5598  eqopi  5818  f1o2ndf1  5869  tposoprab  5918  brecop  6219  th3q  6234  ecovcom  6236  ecovicom  6237  ecovass  6238  ecoviass  6239  ecovdi  6240  ecovidi  6241  1qec  6578  enq0sym  6622  addnq0mo  6637  mulnq0mo  6638  addnnnq0  6639  mulnnnq0  6640  distrnq0  6649  mulcomnq0  6650  addassnq0  6652  addsrmo  6920  mulsrmo  6921  addsrpr  6922  mulsrpr  6923  axcnre  7047  eucalgval2  10435