mulnqprlemfl - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem mulnqprlemfl 6765

Description: Lemma for mulnqpr 6767. The forward subset relationship for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
mulnqprlemfl	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑙,𝑢 𝐵,𝑙,𝑢

Proof of Theorem mulnqprlemfl Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulnqprlemru 6764	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩))
2		ltsonq 6588	. . . . . . . . 9 ⊢ <_Q Or Q
3		mulclnq 6566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q)
4		sonr 4072	. . . . . . . . 9 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵))
5	2, 3, 4	sylancr 405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵))
6		ltrelnq 6555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <_Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 4410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵) → ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q ∧ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q))
8	7	simpld 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵) → (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q)
9		elex 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q → (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵) → (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ V)
11		breq2 3789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝐴 ·_Q 𝐵) → ((𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢 ↔ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)))
12	10, 11	elab3 2745	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢} ↔ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵))
13	5, 12	sylnibr 634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢})
14		ltnqex 6739	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)} ∈ V
15		gtnqex 6740	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢} ∈ V
16	14, 15	op2nd 5794	. . . . . . . 8 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}
17	16	eleq2i 2145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢})
18	13, 17	sylnibr 634	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩))
19	1, 18	ssneldd 3002	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
20	19	adantr 270	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
21		nqprlu 6737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
22		nqprlu 6737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
23		mulclpr 6762	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
24	21, 22, 23	syl2an 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
25		prop 6665	. . . . . 6 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
26	24, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
27		vex 2604	. . . . . . 7 ⊢ 𝑟 ∈ V
28		breq1 3788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑟 → (𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵) ↔ 𝑟 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)))
29	14, 15	op1st 5793	. . . . . . 7 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}
30	27, 28, 29	elab2 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ↔ 𝑟 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵))
31	30	biimpi 118	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵))
32		prloc 6681	. . . . 5 ⊢ ((⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ 𝑟 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)) → (𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
33	26, 31, 32	syl2an 283	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → (𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
34	20, 33	ecased 1280	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
35	34	ex 113	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
36	35	ssrdv 3005	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 102 ∨ wo 661 ∈ wcel 1433 {cab 2067 Vcvv 2601 ⊆ wss 2973 ⟨cop 3401 class class class wbr 3785 Or wor 4050 ‘cfv 4922 (class class class)co 5532 1^st c1st 5785 2^nd c2nd 5786 Qcnq 6470 ·_Q cmq 6473 <_Q cltq 6475 Pcnp 6481 ·_P cmp 6484

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 576 ax-in2 577 ax-io 662 ax-5 1376 ax-7 1377 ax-gen 1378 ax-ie1 1422 ax-ie2 1423 ax-8 1435 ax-10 1436 ax-11 1437 ax-i12 1438 ax-bndl 1439 ax-4 1440 ax-13 1444 ax-14 1445 ax-17 1459 ax-i9 1463 ax-ial 1467 ax-i5r 1468 ax-ext 2063 ax-coll 3893 ax-sep 3896 ax-nul 3904 ax-pow 3948 ax-pr 3964 ax-un 4188 ax-setind 4280 ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 776 df-3or 920 df-3an 921 df-tru 1287 df-fal 1290 df-nf 1390 df-sb 1686 df-eu 1944 df-mo 1945 df-clab 2068 df-cleq 2074 df-clel 2077 df-nfc 2208 df-ne 2246 df-ral 2353 df-rex 2354 df-reu 2355 df-rab 2357 df-v 2603 df-sbc 2816 df-csb 2909 df-dif 2975 df-un 2977 df-in 2979 df-ss 2986 df-nul 3252 df-pw 3384 df-sn 3404 df-pr 3405 df-op 3407 df-uni 3602 df-int 3637 df-iun 3680 df-br 3786 df-opab 3840 df-mpt 3841 df-tr 3876 df-eprel 4044 df-id 4048 df-po 4051 df-iso 4052 df-iord 4121 df-on 4123 df-suc 4126 df-iom 4332 df-xp 4369 df-rel 4370 df-cnv 4371 df-co 4372 df-dm 4373 df-rn 4374 df-res 4375 df-ima 4376 df-iota 4887 df-fun 4924 df-fn 4925 df-f 4926 df-f1 4927 df-fo 4928 df-f1o 4929 df-fv 4930 df-ov 5535 df-oprab 5536 df-mpt2 5537 df-1st 5787 df-2nd 5788 df-recs 5943 df-irdg 5980 df-1o 6024 df-2o 6025 df-oadd 6028 df-omul 6029 df-er 6129 df-ec 6131 df-qs 6135 df-ni 6494 df-pli 6495 df-mi 6496 df-lti 6497 df-plpq 6534 df-mpq 6535 df-enq 6537 df-nqqs 6538 df-plqqs 6539 df-mqqs 6540 df-1nqqs 6541 df-rq 6542 df-ltnqqs 6543 df-enq0 6614 df-nq0 6615 df-0nq0 6616 df-plq0 6617 df-mq0 6618 df-inp 6656 df-imp 6659

This theorem is referenced by: mulnqpr 6767

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