Theorem nq0a0 6647

Description: Addition with zero for non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0a0	⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)

Proof of Theorem nq0a0

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 6632	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2		df-0nq0 6616	. . . . . 6 ⊢ 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0
3		oveq12 5541	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ∧ 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
4	2, 3	mpan2 415	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
5		peano1 4335	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
6		1pi 6505	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ N
7		addnnnq0 6639	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ (∅ ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ N)) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanr12 429	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 +Q0 [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2135	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
10		pinn 6499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ N → 𝑣 ∈ ω)
11		nnm0 6077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·𝑜 ∅) = ∅)
12	11	oveq2d 5548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ω → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)) = ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅))
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ N → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)) = ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅))
14		nnm1 6120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·𝑜 1𝑜) = 𝑤)
15	14	oveq1d 5547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅) = (𝑤 +𝑜 ∅))
16		nna0 6076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝑤 +𝑜 ∅) = 𝑤)
17	15, 16	eqtrd 2113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 ∅) = 𝑤)
18	13, 17	sylan9eqr 2135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)) = 𝑤)
19		nnm1 6120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑣 ·𝑜 1𝑜) = 𝑣)
20	10, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ N → (𝑣 ·𝑜 1𝑜) = 𝑣)
21	20	adantl 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑣 ·𝑜 1𝑜) = 𝑣)
22	18, 21	opeq12d 3578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩ = ⟨𝑤, 𝑣⟩)
23	22	eceq1d 6165	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 )
24	23	eqeq2d 2092	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝐴 = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 ↔ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
25	24	biimpar 291	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → 𝐴 = [⟨((𝑤 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 (𝑣 ·𝑜 ∅)), (𝑣 ·𝑜 1𝑜)⟩] ~Q0 )
26	9, 25	eqtr4d 2116	. . 3 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
27	26	exlimivv 1817	. 2 ⊢ (∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
28	1, 27	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284  ∃wex 1421   ∈ wcel 1433  ∅c0 3251  ⟨cop 3401  ωcom 4331  (class class class)co 5532  1_𝑜c1o 6017   +_𝑜 coa 6021   ·_𝑜 comu 6022  [cec 6127  Ncnpi 6462   ~_Q0 ceq0 6476  Q₀cnq0 6477  0_Q0c0q0 6478   +_Q0 cplq0 6479

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-mi 6496  df-enq0 6614  df-nq0 6615  df-0nq0 6616  df-plq0 6617

This theorem is referenced by:  prarloclem5  6690