Theorem opeo 10297

Description: The sum of an odd and an even is odd. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
opeo	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem opeo

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 10272	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴))
2		2z 8379	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		divides 10197	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
4	2, 3	mpan 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
5	1, 4	bi2anan9 570	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵)))
6		reeanv 2523	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
7		zaddcl 8391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
8		zcn 8356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
9		zcn 8356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
10		2cn 8110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		adddi 7105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 + 𝑏)) = ((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)))
12	10, 11	mp3an1 1255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 + 𝑏)) = ((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)))
13	12	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + 1))
14		mulcl 7100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
15	10, 14	mpan 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
16		mulcl 7100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
17	10, 16	mpan 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
18		ax-1cn 7069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
19		add32 7267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (2 · 𝑏)))
20	18, 19	mp3an3 1257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (2 · 𝑏)))
21	15, 17, 20	syl2an 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (2 · 𝑏)))
22		mulcom 7102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) = (𝑏 · 2))
23	10, 22	mpan 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) = (𝑏 · 2))
24	23	adantl 271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) = (𝑏 · 2))
25	24	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) + (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)))
26	13, 21, 25	3eqtrd 2117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)))
27	8, 9, 26	syl2an 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)))
28		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + 𝑏) → (2 · 𝑐) = (2 · (𝑎 + 𝑏)))
29	28	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + 𝑏) → ((2 · 𝑐) + 1) = ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + 1))
30	29	eqeq1d 2089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + 𝑏) → (((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)) ↔ ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2))))
31	30	rspcev 2701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2))) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)))
32	7, 27, 31	syl2anc 403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)))
33		oveq12 5541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)) = (𝐴 + 𝐵))
34	33	eqeq2d 2092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)) ↔ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵)))
35	34	rexbidv 2369	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵)))
36	32, 35	syl5ibcom 153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵)))
37	36	rexlimivv 2482	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵))
38	6, 37	sylbir 133	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵))
39	5, 38	syl6bi 161	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵)))
40	39	imp 122	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵))
41	40	an4s 552	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵))
42		zaddcl 8391	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
43	42	ad2ant2r 492	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
44		odd2np1 10272	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵)))
45	43, 44	syl 14	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → (¬ 2 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵)))
46	41, 45	mpbird 165	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∃wrex 2349   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  1c1 6982   + caddc 6984   · cmul 6986  2c2 8089  ℤcz 8351   ∥ cdvds 10195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-xor 1307  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352  df-dvds 10196

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