recexprlemdisj - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem recexprlemdisj 6820

Description: 𝐵 is disjoint. Lemma for recexpr 6828. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
recexpr.1	⊢ 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑥 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))}⟩

**Assertion**
Ref	Expression
recexprlemdisj	⊢ (𝐴 ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑞,𝑦,𝐴 𝐵,𝑞,𝑥,𝑦

Proof of Theorem recexprlemdisj Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsonq 6588	. . . . . 6 ⊢ <_Q Or Q
2		ltrelnq 6555	. . . . . 6 ⊢ <_Q ⊆ (Q × Q)
3	1, 2	son2lpi 4741	. . . . 5 ⊢ ¬ ((_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦) ∧ (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))
4		simprr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → (*_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))
5		simplr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))
6	4, 5	jca 300	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → ((_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)))
7		prop 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)
8		prltlu 6677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐴), (2^nd ‘𝐴)⟩ ∈ P ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦))
9	7, 8	syl3an1 1202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) → (_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦))
10	9	3expb 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ ((_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴) ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))) → (_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦))
11	6, 10	sylan2 280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))) → (_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦))
12		simprl 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → 𝑧 <_Q 𝑞)
13		simpll 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → 𝑞 <_Q 𝑦)
14	1, 2	sotri 4740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 <_Q 𝑞 ∧ 𝑞 <_Q 𝑦) → 𝑧 <_Q 𝑦)
15	12, 13, 14	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → 𝑧 <_Q 𝑦)
16		ltrnqi 6611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 <_Q 𝑦 → (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))
18	17	adantl 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))) → (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))
19	11, 18	jca 300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))) → ((_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦) ∧ (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧)))
20	19	ex 113	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → ((_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦) ∧ (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))))
21	20	adantr 270	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) → ((_Q‘𝑧) <_Q (_Q‘𝑦) ∧ (_Q‘𝑦) <_Q (_Q‘𝑧))))
22	3, 21	mtoi 622	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
23	22	alrimivv 1796	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∀𝑦∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
24		recexpr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑥 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))}⟩
25	24	recexprlemell 6812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)))
26	24	recexprlemelu 6813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (*_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴)))
27	25, 26	anbi12i 447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))))
28		breq1 3788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 <_Q 𝑞 ↔ 𝑧 <_Q 𝑞))
29		fveq2 5198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (_Q‘𝑦) = (_Q‘𝑧))
30	29	eleq1d 2147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴) ↔ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))
31	28, 30	anbi12d 456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴)) ↔ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
32	31	cbvexv 1836	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴)) ↔ ∃𝑧(𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴)))
33	32	anbi2i 444	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑦(𝑦 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑧(𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
34	27, 33	bitri 182	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑧(𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
35		eeanv 1848	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ (∃𝑦(𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ ∃𝑧(𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
36	34, 35	bitr4i 185	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ ∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
37	36	notbii 626	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ ¬ ∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
38		alnex 1428	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ ¬ ∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
39	38	albii 1399	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ ∀𝑦 ¬ ∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
40		alnex 1428	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ¬ ∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ ¬ ∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
41	39, 40	bitri 182	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))) ↔ ¬ ∃𝑦∃𝑧((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
42	37, 41	bitr4i 185	. . 3 ⊢ (¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)) ↔ ∀𝑦∀𝑧 ¬ ((𝑞 <_Q 𝑦 ∧ (_Q‘𝑦) ∈ (2^nd ‘𝐴)) ∧ (𝑧 <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘𝑧) ∈ (1^st ‘𝐴))))
43	23, 42	sylibr 132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)))
44	43	ralrimiva 2434	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘𝐵)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 102 ∀wal 1282 = wceq 1284 ∃wex 1421 ∈ wcel 1433 {cab 2067 ∀wral 2348 ⟨cop 3401 class class class wbr 3785 ‘cfv 4922 1^st c1st 5785 2^nd c2nd 5786 Qcnq 6470 *_Qcrq 6474 <_Q cltq 6475 Pcnp 6481

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 576 ax-in2 577 ax-io 662 ax-5 1376 ax-7 1377 ax-gen 1378 ax-ie1 1422 ax-ie2 1423 ax-8 1435 ax-10 1436 ax-11 1437 ax-i12 1438 ax-bndl 1439 ax-4 1440 ax-13 1444 ax-14 1445 ax-17 1459 ax-i9 1463 ax-ial 1467 ax-i5r 1468 ax-ext 2063 ax-coll 3893 ax-sep 3896 ax-nul 3904 ax-pow 3948 ax-pr 3964 ax-un 4188 ax-setind 4280 ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 776 df-3or 920 df-3an 921 df-tru 1287 df-fal 1290 df-nf 1390 df-sb 1686 df-eu 1944 df-mo 1945 df-clab 2068 df-cleq 2074 df-clel 2077 df-nfc 2208 df-ne 2246 df-ral 2353 df-rex 2354 df-reu 2355 df-rab 2357 df-v 2603 df-sbc 2816 df-csb 2909 df-dif 2975 df-un 2977 df-in 2979 df-ss 2986 df-nul 3252 df-pw 3384 df-sn 3404 df-pr 3405 df-op 3407 df-uni 3602 df-int 3637 df-iun 3680 df-br 3786 df-opab 3840 df-mpt 3841 df-tr 3876 df-eprel 4044 df-id 4048 df-po 4051 df-iso 4052 df-iord 4121 df-on 4123 df-suc 4126 df-iom 4332 df-xp 4369 df-rel 4370 df-cnv 4371 df-co 4372 df-dm 4373 df-rn 4374 df-res 4375 df-ima 4376 df-iota 4887 df-fun 4924 df-fn 4925 df-f 4926 df-f1 4927 df-fo 4928 df-f1o 4929 df-fv 4930 df-ov 5535 df-oprab 5536 df-mpt2 5537 df-1st 5787 df-2nd 5788 df-recs 5943 df-irdg 5980 df-1o 6024 df-oadd 6028 df-omul 6029 df-er 6129 df-ec 6131 df-qs 6135 df-ni 6494 df-mi 6496 df-lti 6497 df-mpq 6535 df-enq 6537 df-nqqs 6538 df-mqqs 6540 df-1nqqs 6541 df-rq 6542 df-ltnqqs 6543 df-inp 6656

This theorem is referenced by: recexprlempr 6822

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