2at0mat0 - Mathbox for Norm Megill

	Mathbox for Norm Megill		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > 2at0mat0		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem 2at0mat0 34811

Description: Special case of 2atmat0 34812 where one atom could be zero. (Contributed by NM, 30-May-2013.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2atmatz.j	$.\/$
2atmatz.m	$./\$
2atmatz.z
2atmatz.a

**Assertion**
Ref	Expression
2at0mat0	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$

**Proof of Theorem 2at0mat0**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$
2		simplr1 1103	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$
3		simpr 477	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$
4		simplr3 1105	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
5		simpl1 1064	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
6		hlol 34648	. . . . . . . 8
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
8		simpr1 1067	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
9		simpr2 1068	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
10		eqid 2622	. . . . . . . . 9
11		2atmatz.j	. . . . . . . . 9 $.\/$
12		2atmatz.a	. . . . . . . . 9
13	10, 11, 12	hlatjcl 34653	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $.\/$
14	5, 8, 9, 13	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
15		simpl3 1066	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
16		2atmatz.m	. . . . . . . 8 $./\$
17		2atmatz.z	. . . . . . . 8
18	10, 16, 17, 12	meetat2 34584	. . . . . . 7 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $\/$ $.\/$ $./\$
19	7, 14, 15, 18	syl3anc 1326	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $\/$ $.\/$ $./\$
20	19	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $\/$ $.\/$ $./\$
21		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 $.\/$ $.\/$
22	11, 12	hlatjidm 34655	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $.\/$
23	5, 15, 22	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
24	21, 23	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
25	24	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $./\$ $.\/$
26		hllat 34650	. . . . . . . . . . 11
27	5, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
28	10, 12	atbase 34576	. . . . . . . . . . 11
29	15, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
30	10, 16	latmcom 17075	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$
31	27, 29, 14, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$
32	31	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$
33	25, 32	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$
34	33	eleq1d 2686	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$
35	33	eqeq1d 2624	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$
36	34, 35	orbi12d 746	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $\/$ $.\/$ $./\$
37	20, 36	mpbird 247	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
38	10, 11, 12	hlatjcl 34653	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $.\/$
39	38	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
40	10, 16, 17, 12	meetat2 34584	. . . . . . . . 9 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $\/$ $.\/$ $./\$
41	7, 39, 9, 40	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $\/$ $.\/$ $./\$
42	41	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $\/$ $.\/$ $./\$
43		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 $.\/$ $.\/$
44	11, 12	hlatjidm 34655	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $.\/$
45	5, 9, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
46	43, 45	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$
48	47	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$
49	47	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$
50	48, 49	orbi12d 746	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $\/$ $.\/$ $./\$
51	42, 50	mpbird 247	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
52	51	adantlr 751	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
53		df-ne 2795	. . . . . . . 8 $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
54		simpll1 1100	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$
55		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$
56		simpll3 1102	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$
57		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$
58		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13
59	11, 12, 58	llni2 34798	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
60	54, 55, 56, 57, 59	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$
61		simplr1 1103	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$
62		simplr2 1104	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$
63		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$
64	11, 12, 58	llni2 34798	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
65	54, 61, 62, 63, 64	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$
66		simplr3 1105	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
67		simpr3 1069	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
68	16, 17, 12, 58	2llnmat 34810	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
69	54, 60, 65, 66, 67, 68	syl32anc 1334	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
70	69	3exp2 1285	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
71	70	imp31 448	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
72	53, 71	syl5bir 233	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
73	72	orrd 393	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
74	73	orcomd 403	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
75	52, 74	pm2.61dane 2881	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
76	37, 75	pm2.61dane 2881	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
77	1, 2, 3, 4, 76	syl13anc 1328	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
78		simpl1 1064	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
79	78, 6	syl 17	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
80	38	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
81		simpr1 1067	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
82	10, 16, 17, 12	meetat2 34584	. . . . 5 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $\/$ $.\/$ $./\$
83	79, 80, 81, 82	syl3anc 1326	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $\/$ $.\/$ $./\$
84	83	adantr 481	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $\/$ $.\/$ $./\$
85		oveq2 6658	. . . . . . 7 $.\/$ $.\/$
86	10, 12	atbase 34576	. . . . . . . . 9
87	81, 86	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
88	10, 11, 17	olj01 34512	. . . . . . . 8 $/\$ $.\/$
89	79, 87, 88	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
90	85, 89	sylan9eqr 2678	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
91	90	oveq2d 6666	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$
92	91	eleq1d 2686	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$
93	91	eqeq1d 2624	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$
94	92, 93	orbi12d 746	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $\/$ $.\/$ $./\$
95	84, 94	mpbird 247	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$
96		simpr2 1068	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $\/$
97	77, 95, 96	mpjaodan 827	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$ $\/$ $.\/$ $./\$ $.\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

cfv 5888 (class class class)co 6650

cbs 15857

cjn 16944

cmee 16945

cp0 17037

clat 17045

col 34461

catm 34550

chlt 34637

clln 34777

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-preset 16928 df-poset 16946 df-plt 16958 df-lub 16974 df-glb 16975 df-join 16976 df-meet 16977 df-p0 17039 df-lat 17046 df-clat 17108 df-oposet 34463 df-ol 34465 df-oml 34466 df-covers 34553 df-ats 34554 df-atl 34585 df-cvlat 34609 df-hlat 34638 df-llines 34784

This theorem is referenced by: 2atmat0 34812 cdlemg31b0a 35983

W3C validator