Theorem 2llnmat 34810

Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2llnmat.m	|- ./\ = ( meet ` K )
2llnmat.z	|- .0. = ( 0. ` K )
2llnmat.a	|- A = ( Atoms ` K )
2llnmat.n	|- N = ( LLines ` K )

Assertion

Ref	Expression
2llnmat	|- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> ( X ./\ Y ) e. A )

Proof of Theorem 2llnmat

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1064	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> K e. HL )
2		hlatl 34647	. . . . 5 |- ( K e. HL -> K e. AtLat )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> K e. AtLat )
4		hllat 34650	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> K e. Lat )
6		simpl2 1065	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> X e. N )
7		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
8		2llnmat.n	. . . . . . 7 |- N = ( LLines ` K )
9	7, 8	llnbase 34795	. . . . . 6 |- ( X e. N -> X e. ( Base ` K ) )
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> X e. ( Base ` K ) )
11		simpl3 1066	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> Y e. N )
12	7, 8	llnbase 34795	. . . . . 6 |- ( Y e. N -> Y e. ( Base ` K ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> Y e. ( Base ` K ) )
14		2llnmat.m	. . . . . 6 |- ./\ = ( meet ` K )
15	7, 14	latmcl 17052	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
16	5, 10, 13, 15	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
17		simprr 796	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> ( X ./\ Y ) =/= .0. )
18		eqid 2622	. . . . 5 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
19		2llnmat.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0. ` K )
20		2llnmat.a	. . . . 5 |- A = ( Atoms ` K )
21	7, 18, 19, 20	atlex 34603	. . . 4 |- ( ( K e. AtLat /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) -> E. p e. A p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) )
22	3, 16, 17, 21	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> E. p e. A p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) )
23		simp1rl 1126	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> X =/= Y )
24		simp1l 1085	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) )
25	18, 8	llncmp 34808	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( X ( le ` K ) Y <-> X = Y ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( X ( le ` K ) Y <-> X = Y ) )
27		simp1l1 1154	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> K e. HL )
28	27, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> K e. Lat )
29		simp1l2 1155	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> X e. N )
30	29, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> X e. ( Base ` K ) )
31		simp1l3 1156	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> Y e. N )
32	31, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> Y e. ( Base ` K ) )
33	7, 18, 14	latleeqm1 17079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ( le ` K ) Y <-> ( X ./\ Y ) = X ) )
34	28, 30, 32, 33	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( X ( le ` K ) Y <-> ( X ./\ Y ) = X ) )
35	26, 34	bitr3d 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( X = Y <-> ( X ./\ Y ) = X ) )
36	35	necon3bid 2838	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( X =/= Y <-> ( X ./\ Y ) =/= X ) )
37	23, 36	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( X ./\ Y ) =/= X )
38		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) )
39	7, 18, 14	latmle1 17076	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) X )
40	28, 30, 32, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) X )
41		hlpos 34652	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. HL -> K e. Poset )
42	27, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> K e. Poset )
43	7, 20	atbase 34576	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. A -> p e. ( Base ` K ) )
44	43	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> p e. ( Base ` K ) )
45	28, 30, 32, 15	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
46		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> p e. A )
47	7, 18, 28, 44, 45, 30, 38, 40	lattrd 17058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> p ( le ` K ) X )
48		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
49	18, 48, 20, 8	atcvrlln2 34805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ p e. A /\ X e. N ) /\ p ( le ` K ) X ) -> p ( <o ` K ) X )
50	27, 46, 29, 47, 49	syl31anc 1329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> p ( <o ` K ) X )
51	7, 18, 48	cvrnbtwn4 34566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Poset /\ ( p e. ( Base ` K ) /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) ) /\ p ( <o ` K ) X ) -> ( ( p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) X ) <-> ( p = ( X ./\ Y ) \/ ( X ./\ Y ) = X ) ) )
52	42, 44, 30, 45, 50, 51	syl131anc 1339	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( ( p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) X ) <-> ( p = ( X ./\ Y ) \/ ( X ./\ Y ) = X ) ) )
53	38, 40, 52	mpbi2and 956	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( p = ( X ./\ Y ) \/ ( X ./\ Y ) = X ) )
54		neor 2885	. . . . . . . 8 |- ( ( p = ( X ./\ Y ) \/ ( X ./\ Y ) = X ) <-> ( p =/= ( X ./\ Y ) -> ( X ./\ Y ) = X ) )
55	53, 54	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( p =/= ( X ./\ Y ) -> ( X ./\ Y ) = X ) )
56	55	necon1d 2816	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( ( X ./\ Y ) =/= X -> p = ( X ./\ Y ) ) )
57	37, 56	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> p = ( X ./\ Y ) )
58	57	3exp 1264	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> ( p e. A -> ( p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) -> p = ( X ./\ Y ) ) ) )
59	58	reximdvai 3015	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> ( E. p e. A p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) -> E. p e. A p = ( X ./\ Y ) ) )
60	22, 59	mpd 15	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> E. p e. A p = ( X ./\ Y ) )
61		risset 3062	. 2 |- ( ( X ./\ Y ) e. A <-> E. p e. A p = ( X ./\ Y ) )
62	60, 61	sylibr 224	1 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> ( X ./\ Y ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940   meetcmee 16945   0.cp0 17037   Latclat 17045   <o ccvr 34549   Atomscatm 34550   AtLatcal 34551   HLchlt 34637   LLinesclln 34777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784

This theorem is referenced by:  2at0mat0  34811  ps-2c  34814  2llnmeqat  34857  dalemcea  34946  dalem2  34947  dalem21  34980  dalem54  35012  cdlemc5  35482