Theorem 2pol0N 35197

Description: The closed subspace closure of the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
2pol0.o	|- ._|_ = ( _|_P ` K )

Assertion

Ref	Expression
2pol0N	|- ( K e. HL -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` (/) ) ) = (/) )

Proof of Theorem 2pol0N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
2		2pol0.o	. . . 4 |- ._|_ = ( _|_P ` K )
3	1, 2	pol0N 35195	. . 3 |- ( K e. HL -> ( ._|_ ` (/) ) = ( Atoms ` K ) )
4	3	fveq2d 6195	. 2 |- ( K e. HL -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` (/) ) ) = ( ._|_ ` ( Atoms ` K ) ) )
5	1, 2	pol1N 35196	. 2 |- ( K e. HL -> ( ._|_ ` ( Atoms ` K ) ) = (/) )
6	4, 5	eqtrd 2656	1 |- ( K e. HL -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` (/) ) ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   (/)c0 3915   ` cfv 5888   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   _|_PcpolN 35188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-undef 7399  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-pmap 34790  df-polarityN 35189

This theorem is referenced by:  pcl0N  35208  0psubclN  35229