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Theorem frgrnbnb 27157
Description: If two neighbors U and W of a vertex X have a common neighbor A in a friendship graph, then this common neighbor A must be the vertex X. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrnbnb.e |- E = (Edg ` G )
frgrnbnb.n |- D = ( G NeighbVtx X )
Assertion
Ref Expression
frgrnbnb |- ( ( G e. FriendGraph /\ ( U e. D /\ W e. D ) /\ U =/= W ) -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> A = X ) )
Proof of Theorem frgrnbnb
StepHypRef Expression
1 frgrusgr 27124 . . 3 |- ( G e. FriendGraph -> G e. USGraph )
2 frgrnbnb.n . . . . . . . . . 10 |- D = ( G NeighbVtx X )
32eleq2i 2693 . . . . . . . . 9 |- ( U e. D <-> U e. ( G NeighbVtx X ) )
4 frgrnbnb.e . . . . . . . . . . 11 |- E = (Edg ` G )
54nbusgreledg 26249 . . . . . . . . . 10 |- ( G e. USGraph -> ( U e. ( G NeighbVtx X ) <-> { U , X } e. E ) )
65biimpd 219 . . . . . . . . 9 |- ( G e. USGraph -> ( U e. ( G NeighbVtx X ) -> { U , X } e. E ) )
73, 6syl5bi 232 . . . . . . . 8 |- ( G e. USGraph -> ( U e. D -> { U , X } e. E ) )
82eleq2i 2693 . . . . . . . . 9 |- ( W e. D <-> W e. ( G NeighbVtx X ) )
94nbusgreledg 26249 . . . . . . . . . 10 |- ( G e. USGraph -> ( W e. ( G NeighbVtx X ) <-> { W , X } e. E ) )
109biimpd 219 . . . . . . . . 9 |- ( G e. USGraph -> ( W e. ( G NeighbVtx X ) -> { W , X } e. E ) )
118, 10syl5bi 232 . . . . . . . 8 |- ( G e. USGraph -> ( W e. D -> { W , X } e. E ) )
127, 11anim12d 586 . . . . . . 7 |- ( G e. USGraph -> ( ( U e. D /\ W e. D ) -> ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) )
1312imp 445 . . . . . 6 |- ( ( G e. USGraph /\ ( U e. D /\ W e. D ) ) -> ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) )
14 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
1514nbgrisvtx 26255 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. USGraph /\ U e. ( G NeighbVtx X ) ) -> U e. (Vtx ` G ) )
1615ex 450 . . . . . . . . 9 |- ( G e. USGraph -> ( U e. ( G NeighbVtx X ) -> U e. (Vtx ` G ) ) )
173, 16syl5bi 232 . . . . . . . 8 |- ( G e. USGraph -> ( U e. D -> U e. (Vtx ` G ) ) )
1814nbgrisvtx 26255 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. USGraph /\ W e. ( G NeighbVtx X ) ) -> W e. (Vtx ` G ) )
1918ex 450 . . . . . . . . 9 |- ( G e. USGraph -> ( W e. ( G NeighbVtx X ) -> W e. (Vtx ` G ) ) )
208, 19syl5bi 232 . . . . . . . 8 |- ( G e. USGraph -> ( W e. D -> W e. (Vtx ` G ) ) )
2117, 20anim12d 586 . . . . . . 7 |- ( G e. USGraph -> ( ( U e. D /\ W e. D ) -> ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) )
2221imp 445 . . . . . 6 |- ( ( G e. USGraph /\ ( U e. D /\ W e. D ) ) -> ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) )
234, 14usgrpredgv 26089 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. USGraph /\ { U , A } e. E ) -> ( U e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) )
2423ad2ant2r 783 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( U e. D /\ W e. D ) ) /\ ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) ) -> ( U e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) )
25 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A = X -> ( G e. FriendGraph -> A = X ) )
26252a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A = X -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> ( ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) -> ( G e. FriendGraph -> A = X ) ) ) )
27262a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A = X -> ( U =/= W -> ( ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> ( ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) -> ( G e. FriendGraph -> A = X ) ) ) ) ) )
28 simpll 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) /\ ( A =/= X /\ U =/= W ) ) -> G e. USGraph )
29 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) -> W e. (Vtx ` G ) )
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) /\ ( A =/= X /\ U =/= W ) ) -> W e. (Vtx ` G ) )
31 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) -> U e. (Vtx ` G ) )
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) /\ ( A =/= X /\ U =/= W ) ) -> U e. (Vtx ` G ) )
33 necom 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( U =/= W <-> W =/= U )
3433biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( U =/= W -> W =/= U )
3534adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( A =/= X /\ U =/= W ) -> W =/= U )
3635adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) /\ ( A =/= X /\ U =/= W ) ) -> W =/= U )
3730, 32, 363jca 1242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) /\ ( A =/= X /\ U =/= W ) ) -> ( W e. (Vtx ` G ) /\ U e. (Vtx ` G ) /\ W =/= U ) )
38 simprll 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) -> X e. (Vtx ` G ) )
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) /\ ( A =/= X /\ U =/= W ) ) -> X e. (Vtx ` G ) )
40 simprlr 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) -> A e. (Vtx ` G ) )
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) /\ ( A =/= X /\ U =/= W ) ) -> A e. (Vtx ` G ) )
42 necom 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( A =/= X <-> X =/= A )
4342biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( A =/= X -> X =/= A )
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( A =/= X /\ U =/= W ) -> X =/= A )
4544adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) /\ ( A =/= X /\ U =/= W ) ) -> X =/= A )
4639, 41, 453jca 1242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) /\ ( A =/= X /\ U =/= W ) ) -> ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) /\ X =/= A ) )
4728, 37, 463jca 1242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) /\ ( A =/= X /\ U =/= W ) ) -> ( G e. USGraph /\ ( W e. (Vtx ` G ) /\ U e. (Vtx ` G ) /\ W =/= U ) /\ ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) /\ X =/= A ) ) )
4847ad4ant14 1293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) /\ ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) ) /\ ( A =/= X /\ U =/= W ) ) -> ( G e. USGraph /\ ( W e. (Vtx ` G ) /\ U e. (Vtx ` G ) /\ W =/= U ) /\ ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) /\ X =/= A ) ) )
49 prcom 4267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- { U , X } = { X , U }
5049eleq1i 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( { U , X } e. E <-> { X , U } e. E )
5150biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( { U , X } e. E -> { X , U } e. E )
5251anim1i 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) -> ( { X , U } e. E /\ { W , X } e. E ) )
5352ancomd 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) -> ( { W , X } e. E /\ { X , U } e. E ) )
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) -> ( { W , X } e. E /\ { X , U } e. E ) )
55 prcom 4267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- { W , A } = { A , W }
5655eleq1i 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( { W , A } e. E <-> { A , W } e. E )
5756biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( { W , A } e. E -> { A , W } e. E )
5857anim2i 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> ( { U , A } e. E /\ { A , W } e. E ) )
5954, 58anim12i 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) /\ ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) ) -> ( ( { W , X } e. E /\ { X , U } e. E ) /\ ( { U , A } e. E /\ { A , W } e. E ) ) )
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) /\ ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) ) /\ ( A =/= X /\ U =/= W ) ) -> ( ( { W , X } e. E /\ { X , U } e. E ) /\ ( { U , A } e. E /\ { A , W } e. E ) ) )
6114, 44cyclusnfrgr 27156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( G e. USGraph /\ ( W e. (Vtx ` G ) /\ U e. (Vtx ` G ) /\ W =/= U ) /\ ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) /\ X =/= A ) ) -> ( ( ( { W , X } e. E /\ { X , U } e. E ) /\ ( { U , A } e. E /\ { A , W } e. E ) ) -> G e/ FriendGraph ) )
6248, 60, 61sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) /\ ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) ) /\ ( A =/= X /\ U =/= W ) ) -> G e/ FriendGraph )
63 df-nel 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( G e/ FriendGraph <-> -. G e. FriendGraph )
6462, 63sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) /\ ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) ) /\ ( A =/= X /\ U =/= W ) ) -> -. G e. FriendGraph )
6564pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) /\ ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) ) /\ ( A =/= X /\ U =/= W ) ) -> ( G e. FriendGraph -> A = X ) )
6665ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) /\ ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) ) -> ( ( A =/= X /\ U =/= W ) -> ( G e. FriendGraph -> A = X ) ) )
6766com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( G e. USGraph /\ ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) ) /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) /\ ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) ) -> ( G e. FriendGraph -> ( ( A =/= X /\ U =/= W ) -> A = X ) ) )
6867exp41 638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( G e. USGraph -> ( ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) -> ( ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> ( G e. FriendGraph -> ( ( A =/= X /\ U =/= W ) -> A = X ) ) ) ) ) )
6968com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( G e. USGraph -> ( G e. FriendGraph -> ( ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> ( ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) -> ( ( A =/= X /\ U =/= W ) -> A = X ) ) ) ) ) )
701, 69mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( G e. FriendGraph -> ( ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> ( ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) -> ( ( A =/= X /\ U =/= W ) -> A = X ) ) ) ) )
7170com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A =/= X /\ U =/= W ) -> ( ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> ( ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) -> ( G e. FriendGraph -> A = X ) ) ) ) )
7271ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A =/= X -> ( U =/= W -> ( ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> ( ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) -> ( G e. FriendGraph -> A = X ) ) ) ) ) )
7327, 72pm2.61ine 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( U =/= W -> ( ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> ( ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) -> ( G e. FriendGraph -> A = X ) ) ) ) )
7473imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U =/= W /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> ( ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) -> ( G e. FriendGraph -> A = X ) ) ) )
7574com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) /\ ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) ) -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> ( ( U =/= W /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) -> ( G e. FriendGraph -> A = X ) ) ) )
7675ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) -> ( ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> ( ( U =/= W /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) -> ( G e. FriendGraph -> A = X ) ) ) ) )
7776com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) -> ( G e. FriendGraph -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> ( ( U =/= W /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) -> ( ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) -> A = X ) ) ) ) )
7877ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. (Vtx ` G ) -> ( A e. (Vtx ` G ) -> ( G e. FriendGraph -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> ( ( U =/= W /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) -> ( ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) -> A = X ) ) ) ) ) )
79 nbgrcl 26233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U e. ( G NeighbVtx X ) -> X e. (Vtx ` G ) )
8079, 2eleq2s 2719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. D -> X e. (Vtx ` G ) )
8180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. D /\ W e. D ) -> X e. (Vtx ` G ) )
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. USGraph /\ ( U e. D /\ W e. D ) ) -> X e. (Vtx ` G ) )
8378, 82syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. (Vtx ` G ) -> ( ( G e. USGraph /\ ( U e. D /\ W e. D ) ) -> ( G e. FriendGraph -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> ( ( U =/= W /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) -> ( ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) -> A = X ) ) ) ) ) )
8483com34 91 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. (Vtx ` G ) -> ( ( G e. USGraph /\ ( U e. D /\ W e. D ) ) -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> ( G e. FriendGraph -> ( ( U =/= W /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) -> ( ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) -> A = X ) ) ) ) ) )
8584impd 447 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. (Vtx ` G ) -> ( ( ( G e. USGraph /\ ( U e. D /\ W e. D ) ) /\ ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) ) -> ( G e. FriendGraph -> ( ( U =/= W /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) -> ( ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) -> A = X ) ) ) ) )
8685adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. (Vtx ` G ) /\ A e. (Vtx ` G ) ) -> ( ( ( G e. USGraph /\ ( U e. D /\ W e. D ) ) /\ ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) ) -> ( G e. FriendGraph -> ( ( U =/= W /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) -> ( ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) -> A = X ) ) ) ) )
8724, 86mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( U e. D /\ W e. D ) ) /\ ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) ) -> ( G e. FriendGraph -> ( ( U =/= W /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) -> ( ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) -> A = X ) ) ) )
8887ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. USGraph /\ ( U e. D /\ W e. D ) ) -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> ( G e. FriendGraph -> ( ( U =/= W /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) -> ( ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) -> A = X ) ) ) ) )
8988com25 99 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. USGraph /\ ( U e. D /\ W e. D ) ) -> ( ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) -> ( G e. FriendGraph -> ( ( U =/= W /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> A = X ) ) ) ) )
9089com14 96 . . . . . . . 8 |- ( ( U =/= W /\ ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) ) -> ( ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) -> ( G e. FriendGraph -> ( ( G e. USGraph /\ ( U e. D /\ W e. D ) ) -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> A = X ) ) ) ) )
9190ex 450 . . . . . . 7 |- ( U =/= W -> ( ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) -> ( ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) -> ( G e. FriendGraph -> ( ( G e. USGraph /\ ( U e. D /\ W e. D ) ) -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> A = X ) ) ) ) ) )
9291com15 101 . . . . . 6 |- ( ( G e. USGraph /\ ( U e. D /\ W e. D ) ) -> ( ( { U , X } e. E /\ { W , X } e. E ) -> ( ( U e. (Vtx ` G ) /\ W e. (Vtx ` G ) ) -> ( G e. FriendGraph -> ( U =/= W -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> A = X ) ) ) ) ) )
9313, 22, 92mp2d 49 . . . . 5 |- ( ( G e. USGraph /\ ( U e. D /\ W e. D ) ) -> ( G e. FriendGraph -> ( U =/= W -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> A = X ) ) ) )
9493ex 450 . . . 4 |- ( G e. USGraph -> ( ( U e. D /\ W e. D ) -> ( G e. FriendGraph -> ( U =/= W -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> A = X ) ) ) ) )
9594com23 86 . . 3 |- ( G e. USGraph -> ( G e. FriendGraph -> ( ( U e. D /\ W e. D ) -> ( U =/= W -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> A = X ) ) ) ) )
961, 95mpcom 38 . 2 |- ( G e. FriendGraph -> ( ( U e. D /\ W e. D ) -> ( U =/= W -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> A = X ) ) ) )
97963imp 1256 1 |- ( ( G e. FriendGraph /\ ( U e. D /\ W e. D ) /\ U =/= W ) -> ( ( { U , A } e. E /\ { W , A } e. E ) -> A = X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   {cpr 4179   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   USGraph cusgr 26044   NeighbVtx cnbgr 26224   FriendGraph cfrgr 27120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-upgr 25977  df-umgr 25978  df-usgr 26046  df-nbgr 26228  df-frgr 27121
This theorem is referenced by:  frgrncvvdeqlem8  27170
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