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Theorem abliso 29696
Description: The image of an Abelian group by a group isomorphism is also Abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
abliso |- ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) -> N e. Abel )
Proof of Theorem abliso
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gimghm 17706 . . . 4 |- ( F e. ( M GrpIso N ) -> F e. ( M GrpHom N ) )
2 ghmgrp2 17663 . . . 4 |- ( F e. ( M GrpHom N ) -> N e. Grp )
31, 2syl 17 . . 3 |- ( F e. ( M GrpIso N ) -> N e. Grp )
43adantl 482 . 2 |- ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) -> N e. Grp )
5 grpmnd 17429 . . . 4 |- ( N e. Grp -> N e. Mnd )
64, 5syl 17 . . 3 |- ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) -> N e. Mnd )
7 simpll 790 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> M e. Abel )
8 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
9 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` N ) = ( Base ` N )
108, 9gimf1o 17705 . . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( M GrpIso N ) -> F : ( Base ` M ) -1-1-onto-> ( Base ` N ) )
11 f1ocnv 6149 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : ( Base ` M ) -1-1-onto-> ( Base ` N ) -> `' F : ( Base ` N ) -1-1-onto-> ( Base ` M ) )
12 f1of 6137 . . . . . . . . . . 11 |- ( `' F : ( Base ` N ) -1-1-onto-> ( Base ` M ) -> `' F : ( Base ` N ) --> ( Base ` M ) )
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( M GrpIso N ) -> `' F : ( Base ` N ) --> ( Base ` M ) )
1413ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> `' F : ( Base ` N ) --> ( Base ` M ) )
15 simprl 794 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> x e. ( Base ` N ) )
1614, 15ffvelrnd 6360 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> ( `' F ` x ) e. ( Base ` M ) )
17 simprr 796 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> y e. ( Base ` N ) )
1814, 17ffvelrnd 6360 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> ( `' F ` y ) e. ( Base ` M ) )
19 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
208, 19ablcom 18210 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. Abel /\ ( `' F ` x ) e. ( Base ` M ) /\ ( `' F ` y ) e. ( Base ` M ) ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` M ) ( `' F ` y ) ) = ( ( `' F ` y ) ( +g ` M ) ( `' F ` x ) ) )
217, 16, 18, 20syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` M ) ( `' F ` y ) ) = ( ( `' F ` y ) ( +g ` M ) ( `' F ` x ) ) )
22 gimcnv 17709 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( M GrpIso N ) -> `' F e. ( N GrpIso M ) )
2322ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> `' F e. ( N GrpIso M ) )
24 gimghm 17706 . . . . . . . . 9 |- ( `' F e. ( N GrpIso M ) -> `' F e. ( N GrpHom M ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> `' F e. ( N GrpHom M ) )
26 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` N ) = ( +g ` N )
279, 26, 19ghmlin 17665 . . . . . . . 8 |- ( ( `' F e. ( N GrpHom M ) /\ x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` N ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` M ) ( `' F ` y ) ) )
2825, 15, 17, 27syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` N ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` M ) ( `' F ` y ) ) )
299, 26, 19ghmlin 17665 . . . . . . . 8 |- ( ( `' F e. ( N GrpHom M ) /\ y e. ( Base ` N ) /\ x e. ( Base ` N ) ) -> ( `' F ` ( y ( +g ` N ) x ) ) = ( ( `' F ` y ) ( +g ` M ) ( `' F ` x ) ) )
3025, 17, 15, 29syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> ( `' F ` ( y ( +g ` N ) x ) ) = ( ( `' F ` y ) ( +g ` M ) ( `' F ` x ) ) )
3121, 28, 303eqtr4d 2666 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` N ) y ) ) = ( `' F ` ( y ( +g ` N ) x ) ) )
3231fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> ( F ` ( `' F ` ( x ( +g ` N ) y ) ) ) = ( F ` ( `' F ` ( y ( +g ` N ) x ) ) ) )
3310ad2antlr 763 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> F : ( Base ` M ) -1-1-onto-> ( Base ` N ) )
343ad2antlr 763 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> N e. Grp )
359, 26grpcl 17430 . . . . . . 7 |- ( ( N e. Grp /\ x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) -> ( x ( +g ` N ) y ) e. ( Base ` N ) )
3634, 15, 17, 35syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> ( x ( +g ` N ) y ) e. ( Base ` N ) )
37 f1ocnvfv2 6533 . . . . . 6 |- ( ( F : ( Base ` M ) -1-1-onto-> ( Base ` N ) /\ ( x ( +g ` N ) y ) e. ( Base ` N ) ) -> ( F ` ( `' F ` ( x ( +g ` N ) y ) ) ) = ( x ( +g ` N ) y ) )
3833, 36, 37syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> ( F ` ( `' F ` ( x ( +g ` N ) y ) ) ) = ( x ( +g ` N ) y ) )
399, 26grpcl 17430 . . . . . . 7 |- ( ( N e. Grp /\ y e. ( Base ` N ) /\ x e. ( Base ` N ) ) -> ( y ( +g ` N ) x ) e. ( Base ` N ) )
4034, 17, 15, 39syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> ( y ( +g ` N ) x ) e. ( Base ` N ) )
41 f1ocnvfv2 6533 . . . . . 6 |- ( ( F : ( Base ` M ) -1-1-onto-> ( Base ` N ) /\ ( y ( +g ` N ) x ) e. ( Base ` N ) ) -> ( F ` ( `' F ` ( y ( +g ` N ) x ) ) ) = ( y ( +g ` N ) x ) )
4233, 40, 41syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> ( F ` ( `' F ` ( y ( +g ` N ) x ) ) ) = ( y ( +g ` N ) x ) )
4332, 38, 423eqtr3d 2664 . . . 4 |- ( ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> ( x ( +g ` N ) y ) = ( y ( +g ` N ) x ) )
4443ralrimivva 2971 . . 3 |- ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) -> A. x e. ( Base ` N ) A. y e. ( Base ` N ) ( x ( +g ` N ) y ) = ( y ( +g ` N ) x ) )
459, 26iscmn 18200 . . 3 |- ( N e. CMnd <-> ( N e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` N ) A. y e. ( Base ` N ) ( x ( +g ` N ) y ) = ( y ( +g ` N ) x ) ) )
466, 44, 45sylanbrc 698 . 2 |- ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) -> N e. CMnd )
47 isabl 18197 . 2 |- ( N e. Abel <-> ( N e. Grp /\ N e. CMnd ) )
484, 46, 47sylanbrc 698 1 |- ( ( M e. Abel /\ F e. ( M GrpIso N ) ) -> N e. Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   `'ccnv 5113   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   GrpHom cghm 17657   GrpIso cgim 17699  CMndccmn 18193   Abelcabl 18194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cmn 18195  df-abl 18196
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