Theorem grpcl 17430

Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpcl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpcl	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem grpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 17429	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	mndcl 17301	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
5	1, 4	syl3an1 1359	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425

This theorem is referenced by:  grprcan  17455  grprinv  17469  grplmulf1o  17489  grpinvadd  17493  grpsubf  17494  grpsubadd  17503  grpaddsubass  17505  grpnpcan  17507  grpsubsub4  17508  grppnpcan2  17509  dfgrp3  17514  grplactcnv  17518  imasgrp  17531  mulgcl  17559  mulgaddcomlem  17563  mulgdir  17573  subgcl  17604  grpissubg  17614  nsgacs  17630  nmzsubg  17635  nsgid  17640  eqger  17644  eqgcpbl  17648  qusgrp  17649  qusadd  17651  ghmrn  17673  idghm  17675  ghmpreima  17682  ghmnsgima  17684  ghmnsgpreima  17685  ghmf1o  17690  conjghm  17691  conjnmz  17694  qusghm  17697  gaid  17732  subgga  17733  gass  17734  gaorber  17741  gastacl  17742  gastacos  17743  cntzsubg  17769  galactghm  17823  lactghmga  17824  symgsssg  17887  symgfisg  17888  symggen  17890  sylow1lem2  18014  sylow2blem1  18035  sylow2blem2  18036  sylow2blem3  18037  sylow3lem1  18042  sylow3lem2  18043  subgdisj1  18104  ablsub4  18218  abladdsub4  18219  mulgdi  18232  mulgghm  18234  invghm  18239  ghmplusg  18249  odadd1  18251  odadd2  18252  odadd  18253  gex2abl  18254  gexexlem  18255  torsubg  18257  oddvdssubg  18258  frgpnabllem2  18277  ringacl  18578  ringpropd  18582  drngmcl  18760  abvtrivd  18840  idsrngd  18862  lmodacl  18874  lmodvacl  18877  lmodprop2d  18925  rmodislmod  18931  prdslmodd  18969  pwssplit2  19060  asclghm  19338  psraddcl  19383  mplind  19502  evlslem1  19515  evl1addd  19705  evpmodpmf1o  19942  scmataddcl  20322  mdetralt  20414  mdetunilem6  20423  opnsubg  21911  ghmcnp  21918  qustgpopn  21923  ngprcan  22414  ngpocelbl  22508  nmotri  22543  ncvspi  22956  cphipval2  23040  4cphipval2  23041  cphipval  23042  efsubm  24297  abvcxp  25304  ttgcontlem1  25765  abliso  29696  ogrpaddltbi  29719  ogrpaddltrbid  29721  ogrpinvlt  29724  archiabllem2a  29748  archiabllem2c  29749  archiabllem2b  29750  dvrdir  29790  matunitlindflem1  33405  gicabl  37669  isnumbasgrplem2  37674  mendlmod  37763