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Theorem abvtri 18830
Description: An absolute value satisfies the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a |- A = (AbsVal ` R )
abvf.b |- B = ( Base ` R )
abvtri.p |- .+ = ( +g ` R )
Assertion
Ref Expression
abvtri |- ( ( F e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( X .+ Y ) ) <_ ( ( F ` X ) + ( F ` Y ) ) )
Proof of Theorem abvtri
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . . . . . 8 |- A = (AbsVal ` R )
21abvrcl 18821 . . . . . . 7 |- ( F e. A -> R e. Ring )
3 abvf.b . . . . . . . 8 |- B = ( Base ` R )
4 abvtri.p . . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` R )
5 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
6 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
71, 3, 4, 5, 6isabv 18819 . . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( F e. A <-> ( F : B --> ( 0 [,) +oo ) /\ A. x e. B ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` R ) ) /\ A. y e. B ( ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) ) ) )
82, 7syl 17 . . . . . 6 |- ( F e. A -> ( F e. A <-> ( F : B --> ( 0 [,) +oo ) /\ A. x e. B ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` R ) ) /\ A. y e. B ( ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) ) ) )
98ibi 256 . . . . 5 |- ( F e. A -> ( F : B --> ( 0 [,) +oo ) /\ A. x e. B ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` R ) ) /\ A. y e. B ( ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) ) )
109simprd 479 . . . 4 |- ( F e. A -> A. x e. B ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` R ) ) /\ A. y e. B ( ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) )
11 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
1211ralimi 2952 . . . . . 6 |- ( A. y e. B ( ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) -> A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
1312adantl 482 . . . . 5 |- ( ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` R ) ) /\ A. y e. B ( ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) -> A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
1413ralimi 2952 . . . 4 |- ( A. x e. B ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` R ) ) /\ A. y e. B ( ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
1510, 14syl 17 . . 3 |- ( F e. A -> A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
16 oveq1 6657 . . . . . 6 |- ( x = X -> ( x .+ y ) = ( X .+ y ) )
1716fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( x = X -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( F ` ( X .+ y ) ) )
18 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
1918oveq1d 6665 . . . . 5 |- ( x = X -> ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` X ) + ( F ` y ) ) )
2017, 19breq12d 4666 . . . 4 |- ( x = X -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( X .+ y ) ) <_ ( ( F ` X ) + ( F ` y ) ) ) )
21 oveq2 6658 . . . . . 6 |- ( y = Y -> ( X .+ y ) = ( X .+ Y ) )
2221fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( y = Y -> ( F ` ( X .+ y ) ) = ( F ` ( X .+ Y ) ) )
23 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( y = Y -> ( F ` y ) = ( F ` Y ) )
2423oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( y = Y -> ( ( F ` X ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` X ) + ( F ` Y ) ) )
2522, 24breq12d 4666 . . . 4 |- ( y = Y -> ( ( F ` ( X .+ y ) ) <_ ( ( F ` X ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( X .+ Y ) ) <_ ( ( F ` X ) + ( F ` Y ) ) ) )
2620, 25rspc2v 3322 . . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) -> ( F ` ( X .+ Y ) ) <_ ( ( F ` X ) + ( F ` Y ) ) ) )
2715, 26syl5com 31 . 2 |- ( F e. A -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( X .+ Y ) ) <_ ( ( F ` X ) + ( F ` Y ) ) ) )
28273impib 1262 1 |- ( ( F e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( X .+ Y ) ) <_ ( ( F ` X ) + ( F ` Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   [,)cico 12177   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Ringcrg 18547  AbsValcabv 18816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-abv 18817
This theorem is referenced by:  abvsubtri  18835  abvres  18839  abvcxp  25304  qabvle  25314  ostth2lem2  25323  ostth3  25327
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